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Étant donnée une fonction f : R → C continue par morceaux et 2π-périodique, on
définit pour n ∈ Z le coefficient de Fourier d'indice n de la fonction f par la formule suivante :
c n ( f ) =
1
2π
π
−π
f (t)e
−int dt.
Puisque la fonction f est 2π-périodique, nous pouvons remplacer l'intégrale sur
[−π,π] par une intégrale sur n'importe quel autre intervalle de longueur 2π. La
définition de la fonction f fait souvent apparaître un intervalle privilégié. De même,
une propriété de parité rend plus simple le calcul d'intégrales sur [−π,π] .
La théorie des séries de Fourier fournit des moyens efficaces pour calculer des
sommes de séries. Le premier nous est donné par le théorème de Parseval. Il affirme que
lim
n→∞
n
k=−n
|c k ( f )|
2
=
1
2π
π
−π
| f (t)|
2 dt.
Remarquons qu'ici encore, puisque la fonction f est 2π-périodique, nous pouvons
remplacer l'intégrale sur [−π,π] par une intégrale sur n'importe quel autre intervalle de longueur 2π.
Un autre moyen nous est donné par le théorème de Dirichlet. Pour l'appliquer, nous
devons supposer que la fonction f considérée précédemment est, en outre, de classe C 1 par morceaux. Dans ce cas nous avons, pour tout réel a :
lim
n→∞
n
k=−n
c k ( f )e
ika
=
1
2
lim
x→a −
f (x) + lim
x→a +
f (x)
.
Si la fonction f est continue au point a, cette dernière quantité est égale à f (a).
Notons que le théorème de Parseval, contrairement au théorème de Dirichlet, ne
nécessite aucune hypothèse supplémentaire sur f.
Séries de Fourier
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