soit enfin
1
|P(re it )|
ε.
Cette inégalité étant vraie pour tout réel t on obtient, en intégrant de 0 à
2π :
2π
0
1
|P(re it )|
dt 2πε
et donc
| f (r)| =
2π
0
1
P(re it )
dt
2π
0
1
|P(re it )|
dt 2πε.
En résumé : pour tout réel ε > 0, il existe un réel R > 0 tel que, pour tout
réel r R, on a | f (r)| 2πε.
Autrement dit, par définition de la limite,
lim
r→+∞
f (r) = 0.
Par ailleurs f = 0 donc f est constante : ainsi, f = 0. Il reste à voir en quoi ceci
constitue une contradiction.
Nous venons d'étudier f au voisinage de +∞. La situation en 0 est facile à étudier
car f (0) peut se calculer simplement.
Par ailleurs, nous avons vu précédemment que f est dérivable sur R + et que
sa dérivée est identiquement nulle; ainsi f est constante sur R + .
Comme f tend vers 0 en +∞ et est constante on en déduit qu'elle est identiquement nulle.
Cependant
f (0) =
2π
0
1
P(0)
dt =
2π
P(0)
= / 0
ce qui constitue une contradiction manifeste avec le point précédent.
Ainsi notre hypothèse de départ, à savoir que P ne possédait aucune racine
complexe, est fausse.
Nous avons donc démontré que tout polynôme non constant à coefficients
complexes possède au moins une racine complexe.
244
Chapitre 7 • Intégration