Les calculs précédents montrent que
∀(r,t) ∈ R + × [0,2π],
∂ϕ(r,t)
∂t
= ir
∂ϕ(r,t)
∂r
.
Ainsi, pour r > 0, on a
f
(r) =
1
ir
2π
0
∂ϕ(r,t)
∂t
dt,
d'où
f
(r) =
1
ir
ϕ(r,t)
t=2π
t=0
= 0.
Étant donné qu'il y a deux variables, il est préférable de préciser par rapport à
quelle variable est calculé le crochet en écrivant t = 0 et t = 2π plutôt que simplement 0 et 2π.
La division par r oblige à supposer r = / 0. Cependant, f étant de classe C 1 , on peut
en déduire la valeur de f (0) par passage à la limite.
f est donc nulle sur R ∗
+ . Comme f est de classe C 1 sur R + , f est continue
sur R + donc f est en fait identiquement nulle sur R + .
4. Quand r est grand, re it est aussi grand car son module est r, donc, d'après la
première question, P(re it ) est grand et l'intégrale de son inverse, i.e. f (r), petite.
On s'attend donc à ce que f tende vers 0 en +∞.
Fixons un réel ε > 0. Nous souhaitons majorer f à l'aide de ε donc nous pouvons
chercher à minorer |P(z)| à l'aide de
1
ε
. Pour cela, on peut utiliser la première question avec A =
1
ε
.
Soit un réel ε > 0. D'après la première question appliquée à A =
1
ε
il existe
un réel R > 0 tel que, pour tout complexe z tel que |z| R, |P(z)|
1
ε
.
En particulier pour tout réel r R et tout réel t, on a
|re
it
| = r R
et donc
|P(re
it
)|
1
ε
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Chapitre 7 • Intégration