Notons deux choses importantes pour simplifier cette recherche :
• on peut utiliser une version plus faible de cette hypothèse de domination : vérifier
que, pour tout segment S ⊂ R + , il existe une fonction h : [0,2π] → R, intégrable,
telle que
∀r ∈ S,∀t ∈ [0,2π],
∂ϕ(r,t)
∂r
h(t);
• toute fonction constante est intégrable sur [0,2π] : on peut donc se contenter de
trouver une fonction h constante vérifiant cette inégalité.
Rappelons l'expression obtenue précédemment :
∂ϕ(r,t)
∂r
= −
e it P (re it )
P 2 (re it )
.
Il n'est a priori pas évident de majorer ceci indépendamment de r. Cependant, si on
se limite à des valeurs de r dans un segment S, la situation est plus simple. En effet,
S × [0,2π] est une partie compacte de R 2 et toute fonction continue sur un compact
est bornée ; comme
∂ϕ
∂r
est continue sur S × [0,2π], elle y est bornée et on obtient
le résultat souhaité.
iii) Fixons un segment S ⊂ R + . L'application
∂ϕ
∂r
est continue sur S × [0,2π]
car elle est obtenue par combinaisons linéaires, produits et quotients à partir de la fonction t → re it qui est continue. De plus, S × [0,2π] est compact.
Ainsi,
∂ϕ
∂r
est bornée sur S × [0,2π], i.e. il existe un réel positif M tel que
∀(r,t) ∈ S × [0,2π],
∂ϕ(r,t)
∂r
M.
La fonction t → M est intégrable sur le segment [0,2π] donc
∂ϕ
∂r
vérifie
l'hypothèse de domination sur tout segment inclus dans R + .
Ainsi, la fonction f est bien définie et de classe C 1 sur R + ; de plus
∀r ∈ R + , f
(r) =
2π
0
∂ϕ(r,t)
∂r
dt.
Cette intégrale n'est pas, a priori, aisée à calculer : on intègre par rapport à t une
dérivée partielle par rapport à r. Cependant, les questions précédentes donnent une
relation entre les dérivées partielles de ϕ.
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Chapitre 7 • Intégration