Enfin, d'après la formule de dérivation de l'inverse :
∂ϕ(r,t)
∂r
= −
∂
∂r
(P(re it ))
P 2 (re it )
= −
e it P (re it )
P 2 (re it )
.
Pour la dérivée partielle par rapport à t, les calculs sont similaires. Nous allons à
nouveau faire apparaître le terme k a k (re it ) k−1 pour obtenir P (re it ) dans le résultat final.
Pour k 1,
∂
∂t
(a k r
k e
ikt
) = ik a k r
k e
ikt
= ir e
it k a k (re
it
)
k−1
d'où
∂
∂t
(P(re
it
)) =
n
k=1
ir e
it k a k (re
it
)
k−1
= ir e
it P
(re
it
).
Il vient enfin, d'après la formule de dérivation de l'inverse
∂ϕ(r,t)
∂t
= −
ir e it P (re it )
P 2 (re it )
.
On remarque une relation simple entre ces dérivées partielles :
∂ϕ
∂t
= ir
∂ϕ
∂r
.
3. Il reste désormais à utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
Certaines hypothèses de ce théorème sont faciles à vérifier, l'hypothèse de domination étant parfois plus technique.
i) Pour tout r ∈ R, la fonction t ∈ [0,2π] → ϕ(r,t) est intégrable sur
[0,2π].
En effet, cette fonction est continue sur [0,2π] car elle est obtenue par
combinaisons linéaires, produits et quotients à partir de la fonction
t → re it qui est continue. De plus, toute fonction continue sur un segment
est intégrable.
ii) ϕ possède en tout point une dérivée partielle par rapport à r : ceci a été
démontré précédemment.
Il reste à vérifier l'hypothèse de domination, i.e. obtenir une inégalité de la forme
∂ϕ(r,t)
∂r
h(t)
valable pour tout r ∈ R + et t ∈ [0,2π] avec h intégrable sur [0,2π].
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Chapitre 7 • Intégration