D'après l'inégalité triangulaire
n−1
k=0
a k z
k
n−1
k=0
|a k ||z|
k
soit
|P(z)| |a n ||z|
n
−
n−1
k=0
|a k ||z|
k
.
Ce qui nous intéresse est |z| et non z lui-même. Nous allons introduire une fonction
d'une variable réelle qui pourra s'étudier aisément par les méthodes générales.
Considérons la fonction polynomiale réelle Q qui, à un réel x, associe
Q(x) = |a n |x
n
−
n−1
k=0
|a k |x
k
.
L'inégalité précédente peut donc s'écrire :
∀z ∈ C,|P(z)| Q(|z|).
Q est non constante (car n 1) et son coefficient dominant est positif.
Ainsi, lim
x→+∞
Q(x) = +∞.
En particulier, étant donné un réel A > 0, il existe un réel R > 0 tel que,
pour tout réel x R, Q(x) A.
Si z est un nombre complexe tel que |z| R, on a donc
|P(z)| Q(|z|) A.
2. Le calcul des dérivées partielles ne pose pas de difficulté particulière. En effet,
les formules usuelles permettent de les calculer à partir des dérivées partielles de
(r,t) → P(re it ). Ces dérivées partielles se calculent à partir de celles des fonctions
(r,t) → r k e ikt , avec k entier, dont P(re it ) est combinaison linéaire.
Il faut faire attention au terme k = 0. En effet, sa dérivée est nulle, mais si on écrit
∂
∂r
(r
k e
ikt
) = k r
k−1 e
ikt cette expression n'est pas définie pour k = 0 et r = 0 .
Pour k 1, on a
∂
∂r
(a k r
k e
ikt
) = k a k r
k−1 e
ikt
= e
it
(k a k (re
it
)
k−1
)
tandis que cette dérivée est nulle pour k = 0. On en déduit
∂
∂r
(P(re
it
)) =
n
k=1
e
it
(k a k (re
it
)
k−1
) = e
it P
(re
it
).
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Chapitre 7 • Intégration