Enfin, pour r ∈ R + , on pose
f (r) =
2π
0
ϕ(r,t) dt.
1. Démontrer que, pour tout réel A > 0, il existe un réel R > 0 tel que, pour tout
nombre complexe z de module supérieur ou égal à R, |P(z)| A.
2. Calculer
∂ϕ
∂r
et
∂ϕ
∂t
.
3. Démontrer que f est de classe C 1 et calculer f .
4. Évaluer la limite de f en +∞ et conclure.
1. Il s'agit ici de minorer le module de P(z), qui est défini par une somme ; nous
allons utiliser l'inégalité triangulaire. En effet, cette inégalité permet souvent de
majorer une somme mais aussi, par un jeu d'écriture, de la minorer. La forme classique |a + b| |a| + |b| donne une majoration de la somme a + b. Si l'on écrit
a = (a + b) − b , on a également |a| = |(a + b) − b| |a + b| + |b|, d'où l'on
déduit une minoration de la somme. Nous allons l'appliquer avec a = a n z n et
b = P(z) − a n z n pour minorer |a + b| = |P(z)| .
Soit z ∈ C. Isolons le terme de plus haut degré de P :
a n z
n
= P(z) −
n−1
k=0
a k z
k
.
D'après l'inégalité triangulaire
|a n z
n
| =
P(z) −
n−1
k=0
a k z
k
|P(z)| +
n−1
k=0
a k z
k
.
Nous avons ainsi la minoration
|P(z)| |a n z
n
| −
n−1
k=0
a k z
k
Pour conclure, nous devons obtenir une minoration de |P(z)| à partir d'une minoration de |z|. L'expression précédente permet de le faire simplement. En effet, la
valeur absolue de la somme apparaissant dans le membre de droite peut être majorée par l'inégalité triangulaire en fonction de |z|. La présence du signe − changera
le sens de l'inégalité pour en faire une minoration de |P(z)|.
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Chapitre 7 • Intégration