4. Des deux questions précédentes on tire lim
x→+∞
f (x) =
π
4
. On ne peut pas immédiatement en déduire
+∞
0
e
−t 2 dt
2
=
π
4
: encore faut-il auparavant s'assurer de
l'existence de l'intégrale dont la valeur est demandée.
La fonction t → e −t 2 est intégrable sur R + . En effet :
i) elle est continue sur R + ;
ii) lim
t→∞
t
2 e
−t 2 = 0 d'après les théorèmes de croissance comparée de fonctions donc e −t 2 = o(1/t 2 ) quand t tend vers +∞.
Ainsi, f converge en +∞ et
lim
x→+∞
f (x) =
+∞
0
e
−t 2 dt
2
.
Par ailleurs, on sait que f + g est constante égale à
π
4
et que g tend vers 0
en +∞. On a donc également
lim
x→+∞
f (x) =
π
4
.
Enfin, avant de prendre la racine carrée, il faut se poser la question du signe des
quantités considérées.
Comme la fonction t → e −t 2 est positive, son intégrale de 0 à +∞ l'est
également, d'où
+∞
0
e
−t 2 dt =
1
2
√
π.
Exercice 7.11 : Théorème de d'Alembert-Gauss
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout
polynôme non constant à coefficients complexes a une racine complexe.
Nous allons raisonner par l'absurde : soit P =
n
k=0
a k X
k
∈ C[X] de degré n 1
et supposons que, pour tout z ∈ C, P(z) = / 0 .
Pour (r,t) ∈ R + × [0,2π] on pose
ϕ(r,t) =
1
P(re it )
.
238
Chapitre 7 • Intégration