Comme f + g est continue sur R + et constante sur R ∗
+ , f + g est constante
sur R + .
Il reste à déterminer la valeur de cette constante. Le plus simple est de la calculant
en évaluant f (x) + g(x) en x = 0.
En particulier, pour x = 0, on a f (0) = 0 tandis que g(0) =
1
0
1
1 + t 2 dt
=
π
4
.
Ainsi :
∀x ∈ R + , f (x) + g(x) =
π
4
.
3. Dans l'intégrale qui définit g figure l'expression e −x 2 (1+t 2 ) , qui tend très vite
vers 0 quand x tend vers +∞, quel que soit t. Ceci nous conduit à penser que g tend
vers 0 en +∞. C'est ce que nous allons montrer.
À cet effet, il est possible d'utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que, pour toute suite (x n ) n∈N de réels positifs, g(x n ) tend vers 0 quand n tend
vers +∞.
Même si cette méthode fonctionne ici, on peut aussi chercher une majoration de g
par une fonction tendant vers 0 en +∞. Ce procédé est d'ailleurs plus rapide et plus
simple.
On peut bien sûr majorer
e −x 2 (1+t 2 )
1 + t 2 par 1, mais ceci ne donnera que g 1. Nous
allons donc être plus fin en conservant le facteur e −x 2 qui assurera la convergence
vers 0.
Soit x ∈ R + .
De l'inégalité
0 g(x) =
1
0
e −x 2 (1+t 2 )
1 + t 2 dt
on tire, en factorisant e −x 2 dans l'intégrale :
0 g(x) = e
−x 2
1
0
e −(xt) 2
1 + t 2 dt.
Comme, pour tout (x,t) ∈ R + × [0,1] , 0 e −(xt) 2 1 et 1 + t 2 1, l'intégrale est inférieure à 1 et il vient
0 g(x) e
−x 2
ce qui montre que lim
x→+∞
g(x) = 0 .
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Chapitre 7 • Intégration