Ainsi, la fonction g est donc de classe C 1 sur R + et
∀x ∈ R + ,g
(x) =
1
0
∂ϕ(x,t)
∂ x
dt
soit
∀x ∈ R + ,g
(x) =
1
0
−2 x e
−x 2 (1+t 2 ) dt
ou encore, comme x ne dépend pas de t
∀x ∈ R + ,g
(x) = −2 x
1
0
e
−x 2 (1+t 2 ) dt.
2. Pour montrer que la fonction f + g est constante, il suffit de montrer que sa dérivée est nulle. Pour cela, on peut se servir des calculs précédents. Le calcul de la
valeur de cette constante pourra alors se faire en choisissant une valeur particulière
de x pour laquelle les calculs sont simples.
Le problème est que l'intégrale intervenant dans l'expression de f à pour bornes 0
et x alors que celle de g a pour bornes 0 et 1. Nous allons donc effectuer un changement de variable pour ne plus avoir que des intégrales sur un même intervalle.
Pour cela, nous allons poser u = x t ; il viendra dt = du/x et les bornes 0 et 1
deviendront 0 et x.
Pour effectuer le changement de variable u = xt, il est nécessaire de supposer
x = / 0. Nous devrons donc traiter séparément le cas où x = 0.
Fixons un réel x > 0 et effectuons le changement de variable u = x t dans
l'intégrale précédente. Il vient successivement
g (x) = −2 x
x
0
e
−x 2 (1+(u/x) 2 ) du/x
= −2
x
0
e
−x 2 e
−u 2 du
= −2 e
−x 2
x
0
e
−u 2 du,
soit g (x) = − f (x) . La fonction f + g est donc constante sur R ∗
+ car sa
dérivée est nulle.
Il reste à montrer que f + g est en fait constante sur R + . Ceci est clair car les fonctions f et g sont continues sur R + (car on a vu qu'elles sont même de classe C 1 ). Si
a est le réel tel que f (x) + g(x) = a pour tout réel x > 0, on a donc
f (0) + g(0) = a en faisant tendre x vers 0.
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Chapitre 7 • Intégration