calcule une dérivée partielle ; pour cela, c'est t que l'on considère comme une
constante pour dériver par rapport à x.
Vient enfin le dernier point, essentiel pour appliquer le théorème : il s'agit d'effectuer une domination uniforme, i.e. d'obtenir une majoration de la forme
∂ϕ(x,t)
∂ x
h(t), valable pour tout x, avec h une fonction de t intégrable.
L'épithète uniforme fait référence au fait que la fonction majorante est indépendante
de x.
C'est ce point qui peut, en général, s'avérer le plus technique dans l'application du
théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
Cependant, nous sommes dans une situation simplifiée, comme nous avons pu le
constater sur les premiers points : nous traitons d'intégrales sur un segment. Comme
toute constante est intégrable sur un segment, il suffit de trouver une fonction h
constante pour pouvoir appliquer le théorème.
Bien sûr, ceci n'est pas toujours possible, mais l'éventualité d'une majoration grossière par une constante doit toujours être envisagée dans le cas d'intégrales à paramètre sur un segment car ce peut être un moyen de simplifier considérablement la
vérification de l'hypothèse du théorème.
Ici, comme 1 + t 2 1, on a déjà la majoration grossière | − 2 x e −x 2 (1+t 2 ) |
2 x e −x 2 . Cette fonction de x est continue sur R + et tend vers 0 en +∞ donc est
certainement bornée; pour voir cela, on peut effectuer une étude rapide de cette
fonction.
Une fois que l'on sait que cette fonction est bornée par un réel positif M on a alors
| − 2 x e −x 2 (1+t 2 ) | M pour tout réel positif x, qui est la majoration recherchée.
iv) On a, pour tout (x,t) ∈ R + × [0,1] :
∂ϕ(x,t)
∂ x
2 x e
−x 2 .
La fonction u : x ∈ R + → 2 x e −x 2 a pour dérivée u : x → 2(1 − 2 x 2 )e −x 2 .
u est strictement positive sur [0,1/
√
2[, nulle en 1/
√
2 et strictement
négative sur ]1/
√
2,+∞[.
De plus, u(0) = 0 et, d'après les théorèmes usuels sur les limites,
lim
x→+∞
u(x) = 0 .
On a donc, pour tout réel positif x, u(x) u(1/
√
2) =
√
2 e −1/2 .
En résumé :
– pour tout x ∈ R + ,
∂ϕ(x,t)
∂ x
√
2 e
−1/2 ;
– la fonction t ∈ [0,1] →
√
2 e −1/2 est intégrable sur [0,1].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
235
Chapitre 7 • Intégration
constante pour dériver par rapport à x.
Vient enfin le dernier point, essentiel pour appliquer le théorème : il s'agit d'effectuer une domination uniforme, i.e. d'obtenir une majoration de la forme
∂ϕ(x,t)
∂ x
h(t), valable pour tout x, avec h une fonction de t intégrable.
L'épithète uniforme fait référence au fait que la fonction majorante est indépendante
de x.
C'est ce point qui peut, en général, s'avérer le plus technique dans l'application du
théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
Cependant, nous sommes dans une situation simplifiée, comme nous avons pu le
constater sur les premiers points : nous traitons d'intégrales sur un segment. Comme
toute constante est intégrable sur un segment, il suffit de trouver une fonction h
constante pour pouvoir appliquer le théorème.
Bien sûr, ceci n'est pas toujours possible, mais l'éventualité d'une majoration grossière par une constante doit toujours être envisagée dans le cas d'intégrales à paramètre sur un segment car ce peut être un moyen de simplifier considérablement la
vérification de l'hypothèse du théorème.
Ici, comme 1 + t 2 1, on a déjà la majoration grossière | − 2 x e −x 2 (1+t 2 ) |
2 x e −x 2 . Cette fonction de x est continue sur R + et tend vers 0 en +∞ donc est
certainement bornée; pour voir cela, on peut effectuer une étude rapide de cette
fonction.
Une fois que l'on sait que cette fonction est bornée par un réel positif M on a alors
| − 2 x e −x 2 (1+t 2 ) | M pour tout réel positif x, qui est la majoration recherchée.
iv) On a, pour tout (x,t) ∈ R + × [0,1] :
∂ϕ(x,t)
∂ x
2 x e
−x 2 .
La fonction u : x ∈ R + → 2 x e −x 2 a pour dérivée u : x → 2(1 − 2 x 2 )e −x 2 .
u est strictement positive sur [0,1/
√
2[, nulle en 1/
√
2 et strictement
négative sur ]1/
√
2,+∞[.
De plus, u(0) = 0 et, d'après les théorèmes usuels sur les limites,
lim
x→+∞
u(x) = 0 .
On a donc, pour tout réel positif x, u(x) u(1/
√
2) =
√
2 e −1/2 .
En résumé :
– pour tout x ∈ R + ,
∂ϕ(x,t)
∂ x
√
2 e
−1/2 ;
– la fonction t ∈ [0,1] →
√
2 e −1/2 est intégrable sur [0,1].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Intégration