1. Étude de la fonction f
Il ne faut pas aller trop vite : f n'est pas une intégrale à paramètre ! En effet, la
variable x apparaît dans une borne de l'intégrale et non dans la fonction de t qui est
intégrée.
En fait, il s'agit d'une intégrale telle que l'on en rencontre en première année : f est
le carré de l'application x →
x
0
e
−t 2 dt qui est dérivable de dérivée x → e −x 2 .
Soit F la primitive sur R + nulle en 0 de la fonction x → e −x 2 . Alors :
∀x ∈ R + ,F(x) =
x
0
e
−t 2 dt.
De plus, F est de classe C 1 et
∀x ∈ R + ,F
(x) = e
−x 2 .
Par ailleurs, f = F 2 . Ainsi f est de classe C 1 et f = 2F F , soit
∀x ∈ R + , f
(x) = 2 e
−x 2
x
0
e
−t 2 dt.
Étude de la fonction g
La fonction g, elle, est bien définie par une intégrale à paramètre. Nous allons donc
vérifier les hypothèses du théorème de dérivation de ces intégrales.
Pour (x,t) ∈ R + × [0,1] posons ϕ(x,t) =
e −x 2 (1+t 2 )
1 + t 2 .
i) Soit x ∈ R + . L'application t ∈ [0,1] → ϕ(x,t) est intégrable sur [0,1]
puisqu'elle est continue et que toute fonction continue sur un segment est
intégrable.
ii) ϕ possède une dérivée partielle par rapport à x et on a
∀(x,t) ∈ R + × [0,1],
∂ϕ(x,t)
∂ x
=−2x(1 + t
2
)
e −x 2 (1+t 2 )
1 + t 2 =−2x e
−x 2 (1+t 2 )
.
iii) Soit x ∈ R + . L'application t ∈ [0,1] →
∂ϕ(x,t)
∂ x
est intégrable sur
[0,1] car elle est continue et toute fonction continue sur un segment est
intégrable.
Ces premiers points sont en général faciles à vérifier : on traite séparément les
variables x et t. Dans les points i et iii, on se pose la question de l'intégrabilité
d'une fonction quand x est considérée comme une constante. Dans le point ii, on
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Chapitre 7 • Intégration