2. Supposons qu’il existe des éléments de O(E) qui ne soient pas la composée
de réflexions.
Considérons un tel élément f de O(E) tel que dim[Ker( f − Id)] soit le plus
grand possible.
2. a) Démontrer qu’il existe a ∈ [Ker( f − Id)] ⊥ tel que f (a) = / a.
b) Aboutir à une contradiction.
Ainsi, tout élément de O(E) peut s’écrire comme la composée de réflexions ;
autrement dit, les réflexions engendrent le groupe O(E).
O(E) est le groupe des endomorphismes orthogonaux de E, c’est-à-dire les endomorphismes qui conservent le produit scalaire, et la norme.
Vous avez déjà étudié en première année les cas n = 2 et n = 3. À cette occasion,
vous avez vu que le groupe orthogonal du plan est engendré par les réflexions. C’est
cette propriété qu’on va généraliser.
1. Supposons que s existe.
Alors s(a − b) = s(a) − s(b) = b − a = −(a − b) donc a − b ∈ Ker(s +Id).
Or s est une réflexion donc Ker(s + Id) est une droite et son orthogonal est
Ker(s − Id) qui est de dimension n − 1.
Ainsi, s est nécessairement la réflexion par rapport à l’hyperplan (a − b) ⊥ .
Ceci montre déjà que si s existe, elle est unique, et nous fournit en plus un
candidat.
Comme a = / b, on a a − b = / 0. L’orthogonal du vecteur a − b est donc un
hyperplan H.
Soit s la réflexion par rapport à H. Alors s(a − b) = −(a − b) donc
s(a) − s(b) = b − a.
Par ailleurs,
< a − b,a + b >=< a,a > − < b,a > + < a,b > − < b,b >
=< a,a > − < b,b >
car < a,b >=< b,a > (le produit scalaire est symétrique).
Comme a et b sont de même norme, < a,a >=< b,b > donc a − b et
a + b sont orthogonaux ; ainsi, a + b ∈ H et s(a + b) = a + b, soit
s(a) + s(b) = a + b .
On en déduit s(a) = b et s(b) = a .
2. a) Il est avant tout nécessaire que f ne soit pas l’identité pour qu’il puisse exister a tel que f (a) = / a. C’est clair car f ne peut pas, par hypothèse,
s’écrire comme composée de réflexions. Or l’identité peut s’écrire s ◦ s où s
est une réflexion quelconque.
D’une manière générale, si F est un sous-espace vectoriel de E,
F ∩ F ⊥ = {0}. On sait même que, si E est de dimension finie, F et F ⊥
sont supplémentaires dans E. En particulier, les éléments non nuls de
18
Chapitre 1 • Algèbre générale
de réflexions.
Considérons un tel élément f de O(E) tel que dim[Ker( f − Id)] soit le plus
grand possible.
2. a) Démontrer qu’il existe a ∈ [Ker( f − Id)] ⊥ tel que f (a) = / a.
b) Aboutir à une contradiction.
Ainsi, tout élément de O(E) peut s’écrire comme la composée de réflexions ;
autrement dit, les réflexions engendrent le groupe O(E).
O(E) est le groupe des endomorphismes orthogonaux de E, c’est-à-dire les endomorphismes qui conservent le produit scalaire, et la norme.
Vous avez déjà étudié en première année les cas n = 2 et n = 3. À cette occasion,
vous avez vu que le groupe orthogonal du plan est engendré par les réflexions. C’est
cette propriété qu’on va généraliser.
1. Supposons que s existe.
Alors s(a − b) = s(a) − s(b) = b − a = −(a − b) donc a − b ∈ Ker(s +Id).
Or s est une réflexion donc Ker(s + Id) est une droite et son orthogonal est
Ker(s − Id) qui est de dimension n − 1.
Ainsi, s est nécessairement la réflexion par rapport à l’hyperplan (a − b) ⊥ .
Ceci montre déjà que si s existe, elle est unique, et nous fournit en plus un
candidat.
Comme a = / b, on a a − b = / 0. L’orthogonal du vecteur a − b est donc un
hyperplan H.
Soit s la réflexion par rapport à H. Alors s(a − b) = −(a − b) donc
s(a) − s(b) = b − a.
Par ailleurs,
< a − b,a + b >=< a,a > − < b,a > + < a,b > − < b,b >
=< a,a > − < b,b >
car < a,b >=< b,a > (le produit scalaire est symétrique).
Comme a et b sont de même norme, < a,a >=< b,b > donc a − b et
a + b sont orthogonaux ; ainsi, a + b ∈ H et s(a + b) = a + b, soit
s(a) + s(b) = a + b .
On en déduit s(a) = b et s(b) = a .
2. a) Il est avant tout nécessaire que f ne soit pas l’identité pour qu’il puisse exister a tel que f (a) = / a. C’est clair car f ne peut pas, par hypothèse,
s’écrire comme composée de réflexions. Or l’identité peut s’écrire s ◦ s où s
est une réflexion quelconque.
D’une manière générale, si F est un sous-espace vectoriel de E,
F ∩ F ⊥ = {0}. On sait même que, si E est de dimension finie, F et F ⊥
sont supplémentaires dans E. En particulier, les éléments non nuls de
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Chapitre 1 • Algèbre générale