Mais Euler (1707-1783) a donné le premier contre-exemple : 2 32 +1 = 4 294 967 297
est divisible par 641.
Les nombres F k = 2 2 k + 1 sont appelés nombres de Fermat. Actuellement, on sait
que F 0 , F 1 , F 2 , F 3 , F 4 sont premiers, et que F 5 ,. . . ,F 32 ne sont pas premiers. On ne
sait pas pour n = 33.
2. Supposons m > n. On a :
F m = (2
2 n )
2 m−n + 1 ≡ (−1)
2 m−n + 1 ≡ 2 (modulo F n ).
Donc si d divise F n et F m alors d divise 2.
F n étant impair on en déduit d = 1, c’est-à-dire que F n et F m sont premiers
entre eux.
Remarque
Chaque F n ayant un diviseur premier, on en déduit qu’il y a une infinité de nombres
premiers, et même de la forme 4k + 1 car, si p premier divise F n , alors :
(−1)
p−1
2 ≡
2 2 n−1 p−1 mod p
≡ 1 mod p
en utilisant le théorème de Fermat
Par suite : p = 4k + 1.
Exercice 1.13 : Une propriété du groupe symétrique
Démontrer que le centre du groupe symétrique S n est réduit à {Id} pour n 3.
Le centre d’un groupe G est l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tous
les éléments de G. Il est facile de démontrer que c’est un sous-groupe de G.
Supposons qu’il existe une permutation σ différente de l’identité appartenant au centre de S n . Il existe alors a = / b tels que σ(a) = b.
Introduisons la transposition τ a,b . On a alors : σ ◦ τ a,b (b) = σ(a) = b.
Comme σ commute avec tout élément de S n , on aussi : τ a,b ◦ σ(b) = b d’où
σ(b) = a.
Introduisons le cycle c a,b,c , ce qui est possible si n 3. On a :
σ ◦ c a,b,c (a) = σ(b) = a et c a,b,c ◦ σ(a) = c a,b,c (b) = c.
On obtient une contradiction, ce qui démontre le résultat annoncé.
Exercice 1.14 : Système de générateurs du groupe orthogonal
1. Soit a et b deux vecteurs distincts de E de même norme. Montrer qu’il existe
une unique réflexion s de E telle que s(a) = b et s(b) = a .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
17
Chapitre 1 • Algèbre générale
est divisible par 641.
Les nombres F k = 2 2 k + 1 sont appelés nombres de Fermat. Actuellement, on sait
que F 0 , F 1 , F 2 , F 3 , F 4 sont premiers, et que F 5 ,. . . ,F 32 ne sont pas premiers. On ne
sait pas pour n = 33.
2. Supposons m > n. On a :
F m = (2
2 n )
2 m−n + 1 ≡ (−1)
2 m−n + 1 ≡ 2 (modulo F n ).
Donc si d divise F n et F m alors d divise 2.
F n étant impair on en déduit d = 1, c’est-à-dire que F n et F m sont premiers
entre eux.
Remarque
Chaque F n ayant un diviseur premier, on en déduit qu’il y a une infinité de nombres
premiers, et même de la forme 4k + 1 car, si p premier divise F n , alors :
(−1)
p−1
2 ≡
2 2 n−1 p−1 mod p
≡ 1 mod p
en utilisant le théorème de Fermat
Par suite : p = 4k + 1.
Exercice 1.13 : Une propriété du groupe symétrique
Démontrer que le centre du groupe symétrique S n est réduit à {Id} pour n 3.
Le centre d’un groupe G est l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tous
les éléments de G. Il est facile de démontrer que c’est un sous-groupe de G.
Supposons qu’il existe une permutation σ différente de l’identité appartenant au centre de S n . Il existe alors a = / b tels que σ(a) = b.
Introduisons la transposition τ a,b . On a alors : σ ◦ τ a,b (b) = σ(a) = b.
Comme σ commute avec tout élément de S n , on aussi : τ a,b ◦ σ(b) = b d’où
σ(b) = a.
Introduisons le cycle c a,b,c , ce qui est possible si n 3. On a :
σ ◦ c a,b,c (a) = σ(b) = a et c a,b,c ◦ σ(a) = c a,b,c (b) = c.
On obtient une contradiction, ce qui démontre le résultat annoncé.
Exercice 1.14 : Système de générateurs du groupe orthogonal
1. Soit a et b deux vecteurs distincts de E de même norme. Montrer qu’il existe
une unique réflexion s de E telle que s(a) = b et s(b) = a .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Algèbre générale