• Soit p et q premiers entre eux. Considérons un élément (a,b) de
Z/ pZ × Z/qZ.
D’après la question 1. il existe x ∈ Z tel que x ≡ a ( p) et x ≡ b (q) .
L’élément x(1,1) de Z/ pZ × Z/qZ est donc égal à (a,b), ce qui démontre
que (1,1) engendre Z/ pZ × Z/qZ, qui est donc cyclique.
Pour démontrer l’autre implication, il est préférable de démontrer sa contraposée ;
c’est-à-dire que, si p et q ne sont pas premiers entre eux, alors Z/ pZ × Z/qZ, n’est
pas cyclique.
Supposons que p et q ne sont pas premiers entre eux. Notons d > 1 leur
pgcd et m leur ppcm. Puisque | pq| = md, on a alors m < pq.
Pour tout couple (x,y) de Z/ pZ × Z/qZ,
on a m(x,y) = (mx,my) = (0,0) puisque p divise mx et q divise my.
Le sous-groupe engendré par (x,y) a un cardinal inférieur ou égal m. Comme
m < pq, il ne peut pas être égal à Z/ pZ × Z/qZ, qui n’est donc pas
cyclique.
Exercice 1.12 : Nombres de Fermat
1. Montrer que si 2 a + 1 est premier, alors a est une puissance de 2.
2. Pour tout entier n, on note F n = 2 2 n + 1. Montrer que, si m et n sont distincts,
alors F n et F m sont premiers entre eux.
Il s’agit de démontrer une implication. Si elle vous résiste, pensez à la contraposée.
1. Nous allons démontrer la contraposée, c’est-à-dire que, si a n’est pas une
puissance de 2, alors 2 a + 1 n’est pas premier.
Si a n’est pas une puissance de 2, on peut écrire a = p2 k avec p impair et
p > 1.
Pour montrer qu’il existe un diviseur non trivial de 2 a + 1 (autre que 1 et luimême), on va utiliser une congruence. Mais commençons par une congruence relative à 2 2 k avant d’arriver à 2 a .
De 2 2 k ≡−1 (mod 2 2 k +1), on déduit 2 p2 k ≡ (−1) p ≡−1 (mod 2 2 k +1),
soit :
2
a
+ 1 ≡ 0 (mod 2
2 k + 1)
ce qui assure que 2 a + 1 n’est pas premier.
Remarque
Fermat (1601-1665) était persuadé que la réciproque était vraie, ce qui aurait fourni des nombres premiers à volonté.
16
Chapitre 1 • Algèbre générale
Z/ pZ × Z/qZ.
D’après la question 1. il existe x ∈ Z tel que x ≡ a ( p) et x ≡ b (q) .
L’élément x(1,1) de Z/ pZ × Z/qZ est donc égal à (a,b), ce qui démontre
que (1,1) engendre Z/ pZ × Z/qZ, qui est donc cyclique.
Pour démontrer l’autre implication, il est préférable de démontrer sa contraposée ;
c’est-à-dire que, si p et q ne sont pas premiers entre eux, alors Z/ pZ × Z/qZ, n’est
pas cyclique.
Supposons que p et q ne sont pas premiers entre eux. Notons d > 1 leur
pgcd et m leur ppcm. Puisque | pq| = md, on a alors m < pq.
Pour tout couple (x,y) de Z/ pZ × Z/qZ,
on a m(x,y) = (mx,my) = (0,0) puisque p divise mx et q divise my.
Le sous-groupe engendré par (x,y) a un cardinal inférieur ou égal m. Comme
m < pq, il ne peut pas être égal à Z/ pZ × Z/qZ, qui n’est donc pas
cyclique.
Exercice 1.12 : Nombres de Fermat
1. Montrer que si 2 a + 1 est premier, alors a est une puissance de 2.
2. Pour tout entier n, on note F n = 2 2 n + 1. Montrer que, si m et n sont distincts,
alors F n et F m sont premiers entre eux.
Il s’agit de démontrer une implication. Si elle vous résiste, pensez à la contraposée.
1. Nous allons démontrer la contraposée, c’est-à-dire que, si a n’est pas une
puissance de 2, alors 2 a + 1 n’est pas premier.
Si a n’est pas une puissance de 2, on peut écrire a = p2 k avec p impair et
p > 1.
Pour montrer qu’il existe un diviseur non trivial de 2 a + 1 (autre que 1 et luimême), on va utiliser une congruence. Mais commençons par une congruence relative à 2 2 k avant d’arriver à 2 a .
De 2 2 k ≡−1 (mod 2 2 k +1), on déduit 2 p2 k ≡ (−1) p ≡−1 (mod 2 2 k +1),
soit :
2
a
+ 1 ≡ 0 (mod 2
2 k + 1)
ce qui assure que 2 a + 1 n’est pas premier.
Remarque
Fermat (1601-1665) était persuadé que la réciproque était vraie, ce qui aurait fourni des nombres premiers à volonté.
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Chapitre 1 • Algèbre générale