[Ker( f − Id)] ⊥ n’appartiennent pas à Ker( f − Id) et vérifient donc
f (x) = / x . Il suffit donc de montrer que [Ker( f − Id)] ⊥ = / {0} .
Si [Ker( f − Id)] ⊥ = {0} alors Ker( f − Id) = E et donc f = Id.
Cependant, l’identité peut bien s’écrire comme composée de réflexions :
Id = s ◦ s pour n’importe quelle réflexion s. Ainsi, f = / Id donc
[Ker( f − Id)] ⊥ = / {0} .
Soit a un élément non nul de [Ker( f − Id)] ⊥ ; alors f (a) = / a.
b) Notons b = f (a). Alors a = / b par définition de a, et a et b ont même
norme car b = f (a) et f est orthogonal. Ainsi, il existe une réflexion s de
E telle que s(a) = b et s(b) = a .
On a donc (s ◦ f )(a) = a.
Si x ∈ Ker( f − Id) , on a < x,a >= 0 donc < x,b >=< f (x), f (a) = 0 ;
par suite < x,a − b >= 0 et donc s(x) = x et s ◦ f (x) = x.
Ainsi, Ker(s ◦ f − Id) est un sous-espace vectoriel de E qui contient strictement Ker( f − Id).
s ◦ f est donc un élément de O(E) qui peut s’écrire comme composée de
réflexions : s ◦ f = s 1 ◦ · · · ◦ s r .
Comme s ◦ s = Id , il vient f = s ◦ s 1 ◦ · · · ◦ s r et ceci est une écriture de
f comme composée de réflexions, ce qui contredit l’hypothèse.
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Chapitre 1 • Algèbre générale