Nous avons donc une première majoration : pour t ∈]0,n[,| f n (t)| t x−1 e −t .
Sur [n,+∞[ la situation est simple car χ n , et donc f n , est précisément nulle au-delà
de n, i.e. on a la relation : pour t ∈ [n,+∞[, | f n (t)| = 0.
Ces majorations ont le défaut d'encore faire intervenir n au niveau des intervalles où
elles sont valables. Cependant, comme 0 t x−1 e −t , on a encore | f n (t)| t x−1 e −t
pour t n, cette majoration est donc valable pour tout t et tout n.
Les calculs précédents montrent que
∀n ∈ N
∗
,∀t ∈]0,n[,| f n (t)| t
x−1 e
−t
.
Pour chaque n la fonction f n est nulle sur [n,+∞[ ; on a donc
∀n ∈ N
∗
,∀t ∈ R
∗
+ ,| f n (t)| t
x−1 e
−t
.
La fonction t → t x−1 e −t étant intégrable sur R ∗
+ on a, d'après le théorème
de convergence dominée :
lim
n→∞
+∞
0
f n (t) dt =
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
Or, pour n ∈ N ∗ , on a
+∞
0
f n (t) dt =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
n
dt = I n,n (x).
En utilisant l'expression de I n,n (x) établie à la question 3, on en déduit que
lim
n→∞
n!n x
x(x + 1) · · · (x + n)
= (x).
5. Il n'y a qu'à substituer
1
2
à x dans la formule précédente. La limite obtenue fera
intervenir n! mais aussi le produit
1
2
3
2
· · ·
2n + 1
2
qui peut s'écrire à l'aide de factorielles.
On a, d'après ce qui précède :
1
2
= lim
n→∞
n!n 1/2
1
2 (
1
2 + 1) · · · (
1
2 + n)
.
Pour simplifier le dénominateur, on peut factoriser
1
2
dans chaque terme.
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Chapitre 7 • Intégration