Nous avons
1
2
1
2
+ 1
· · ·
1
2
+ n
=
1
2 n+1 (1 × 3 × · · · × (2n + 1)).
Pour passer du produit d'entiers impairs successifs à une factorielle, il suffit de multiplier par un produit d'entiers pairs.
Or
2 × 4 × · · · × (2n)
×
1 × 3 × · · · × (2n + 1)
= (2n + 1)!
Enfin, un produit d'entiers pairs peut se simplifier en factorisant 2 dans chaque
terme.
et
2 × 4 × · · · × (2n) = 2
n n!.
On en déduit que
1
2
1
2
+ 1
· · ·
1
2
+ n
=
(2n + 1)!
2 2n+1 n!
.
et donc que
1
2
= lim
n→∞
(n!) 2 √
n 2 2n+1
(2n + 1)!
.
Enfin, pour déterminer la limite d'une expression comportant des factorielles, nous
pouvons utiliser la formule de Stirling.
D'une part, d'après la formule de Stirling,
n! ∼ n
n e
−n
√
2πn
donc
(n!)
2
∼ 2πn
2n+1 e
−2n
.
D'autre part, toujours d'après cette formule, on a :
(2n + 1)! ∼ (2n + 1)
2n+1 e
−(2n+1)
2π(2n + 1).
Nous avons
(2n + 1)
2n+1
= (2n + 1)(2n)
2n
1 +
1
2n
2n
∼ e(2n + 1)(2n)
2n
,
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Chapitre 7 • Intégration