et donc, l'exponentielle étant continue :
lim
n→∞
1 −
t
n
n
= e
−t
soit enfin
lim
n→∞
t
x−1
1 −
t
n
n
= t
x−1 e
−t
.
Ainsi, la suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur R ∗
+ vers la fonction t → t x−1 e −t .
Ceci est un bon point : si on peut intervertir intégrale et limite nous retrouverons
bien l'intégrale définissant la fonction .
Reste l'hypothèse de domination : nous devons trouver une fonction g, intégrable
sur R ∗
+ , telle que | f n (t)| g(t) pour tout n ∈ N ∗ et t ∈ R ∗
+ . Notons déjà que les
fonctions f n sont positives.
La difficulté, pour majorer indépendamment de n, vient du facteur (1 − t/n) n . Pour
cela, reprenons le calcul de la limite ; nous avons seulement montré que
nln(1 − t/n) tend vers −t quand n tend vers +∞ alors qu'on peut dire mieux grâce
à l'inégalité de convexité classique : ln(1 + h) h pour tout réel h > −1. Cette
inégalité traduit le fait que la représentation graphique du logarithme est situé sous
sa tangente en 1, conséquence de sa concavité due à sa dérivée seconde négative en
tout point.
Attention, ceci n'a de sens que si t < n , afin d'avoir h > −1 et donc que le logarithme ait bien un sens !
Nous allons donc être confronté à une deuxième difficulté : passer d'une majoration sur ]0,n[ a une majoration sur R ∗
+ .
Soient n ∈ N ∗ et t ∈]0,n[. Avec h = −t/n ∈]0,1[ il vient, par concavité
du logarithme,
ln
1 −
t
n
−
t
n
d'où, comme n > 0,
n ln
1 −
t
n
−t
et enfin, par croissance de l'exponentielle :
1 −
t
n
n
e
−t
.
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Chapitre 7 • Intégration