Pour n ∈ N ∗ et t ∈ R ∗
+ on pose
f n (t) = χ n (t)t
x−1
1 −
t
n
n
où χ n est la fonction indicatrice de l'intervalle [0,n].
Pour tout n ∈ N ∗ , f n est continue par morceaux sur R ∗
+ comme produit de
fonctions continues par morceaux.
Par ailleurs, nous avons vu précédemment que la fonction t → t
x−1
1 −
t
n
n
est intégrable sur [0,n] ; f n est donc intégrable au voisinage de 0.
Enfin, f n est nulle au voisinage de l'infini donc f n est intégrable au voisinage
de l'infini.
( f n ) n∈N ∗ est donc une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur R ∗
+ .
Ensuite, il faut étudier la convergence simple de la suite de fonctions de terme général f n .
Rappelons que la limite de
1 −
t
n
n
quand n tend vers +∞ se retrouve aisément
en passant au logarithme :
ln
1 −
t
n
n
= nln(1 − t/n).
Comme n tend vers +∞, on peut utiliser l'équivalent ln(1 + h) ∼ h quand h tend
vers 0 pour trouver la limite cherchée. Après calculs, on trouve que
1 −
t
n
n
tend
vers e −t .
Fixons un réel positif t. Alors :
• d'une part, χ n (t) tend vers 1 quand n tend vers +∞, car χ n (t) = 1 si
t n et est donc constante à partir d'un certain rang (par exemple
1 + E(t)) ;
• d'autre part, t
x−1
1 −
t
n
n
tend vers t x−1 e −t quand n tend vers +∞.
En effet, on a successivement, en utilisant l'équivalent ln(1 + h) ∼ h quand
h tend vers 0 :
ln
1 −
t
n
n
= n ln
1 −
t
n
∼ n
−
t
n
∼ −t
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
229
Chapitre 7 • Intégration