I n, p+1 (x) =
p + 1
nx
p!n x+1
(x + 1) · · · (x + p + 1)
=
( p + 1)!n x
x(x + 1) · · · (x + p + 1)
ce qui montre que H p+1 est vraie.
• En conclusion, H p est vraie pour tout entier naturel p, i.e.
∀(n, p,x) ∈ N
∗
× N × R
∗
+ ,I n, p (x) =
p!n x
x(x + 1) · · · (x + p)
.
4. Sans surprise l'expression trouvée précédemment ressemble à celle qui intervient
dans cette question qui concerne le cas particulier p = n ; plus précisément, il est
demandé ici de montrer que lim
n→∞
I n,n (x) = (x).
On a I n,n (x) =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
n
dt . L'emploi du théroème de convergence dominée semble s'imposer mais il y a une objection de taille : les bornes de l'intégrale
dépendent elles aussi de n. Il va donc falloir travailler un peu cette expression pour
appliquer le théorème.
Pour éliminer n des bornes de l'intégrale afin d'appliquer le théorème de convergence dominée il existe une méthode efficace consistant à faire intervenir la fonction indicatrice de l'intervalle [0,n] (i.e. la fonction valant 1 sur cet intervalle et 0
au dehors).
Plus précisément, on peut écrire
I n,n (x) =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
n
dt =
+∞
0
f n (t) dt
où la fonction f n est définie par
f n (t) =



t
x−1
1 −
t
n
n
si t n
0 si t > n
Cette dernière expression peut être écrite plus clairement sous la forme
f n (t) = χ n (t)t
x−1
1 −
t
n
n
où χ n est la fonction indicatrice de l'intervalle [0,n].
Vue sous cette forme il est clair que f n est continue par morceaux car χ n l'est.
Maintenant nous pouvons tenter d'appliquer le théorème de convergence dominée à
la suite de fonctions ( f n ) : l'intervalle d'intégration est bien fixe !
Pour appliquer ce théorème, il faut tout d'abord vérifier que les fonctions f n sont
bien continues par morceaux et intégrables sur R ∗
+ .
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Chapitre 7 • Intégration