En effet, à chaque étape, l'indice p diminue de 1 tandis que la variable x est augmentée de 1et que n ne varie jamais.
Les numérateurs sont p, p − 1,. . . ,1 donc leur produit est p!.
Les dénominateurs sont nx,n(x + 1),. . . ,n(x + p − 1). Dans leur produit on peut
factoriser n ce qui fournit un facteur n p car il y a p termes. Le dénominateur peut
donc s'écrire plus simplement n p x(x + 1) · · · (x + p − 1).
Enfin, I n,0 (x + p) =
n x+ p
x + p
d'après le calcul effectué précédemment.
On peut donc proposer la formule simplifiée
I n, p (x) =
p!
n p
1
x(x + 1) · · · (x + p − 1)
n x+ p
x + p
soit encore, en simplifiant les puissances de n :
I n, p (x) =
p!n x
x(x + 1) · · · (x + p)
.
Il n'y a plus qu'à vérifier ceci par récurrence. N'oublions pas que dans les formules
précédentes nous avons des relations entre les I n, p pour diverses valeurs de p mais
à n constant. La variable de récurrence sera donc p. Notons également que la formule ci-dessus est encore valable pour p = 0, la condition p 1 servant dans la
récurrence pour descendre au rang p − 1.
Pour p ∈ N, posons H p :
« pour tous n ∈ N ∗ et x ∈ R ∗
+ , I n, p (x) =
p!n x
x(x + 1) · · · (x + p)
.
• H 0 est vraie : en effet cet énoncé se réduit à I n,0 (x) =
n x
x
, résultat qui
a été démontré précédemment.
• Soit p ∈ N tel que H p est vraie.
D'après les questions précécentes on a, pour tous n ∈ N ∗ et x ∈ R ∗
+ :
I n, p+1 (x) =
p + 1
nx
I n, p (x + 1).
Par hypothèse de récurrence :
I n, p (x + 1) =
p!n x+1
(x + 1) · · · (x + p + 1)
.
On a donc, pour tous n et x :
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Chapitre 7 • Intégration