et
I n, p−1 (x + 1) =
n
0
t
x
1 −
t
n
p−1
dt
Les seuls éléments qui diffèrent sont les puissances intervenant dans la fonction
intégrée.
Nous allons pouvoir intégrer par parties pour faire apparaître t x à partir de t x−1 (en
primitivant) et
1 −
t
n
p−1
à partir de
1 −
t
n
p
(en dérivant).
Dans le calcul de la dérivée, nous avons affaire à une fonction de la forme u p donc
la dérivée est pu p−1 u . Il ne faut pas oublier u , qui ici est la constante −1/n .
De plus, ceci a bien un sens car p 1. En effet, pour p = 0, ces formules deraient
apparaître u p−1 = 1/u qui n'est pas définie en n.
En intégrant par parties il vient
I n, p (x) =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
p
dt
=
t x
x
1 −
t
n
p n
0
−
n
0
t x
x
p
−
1
n
1 −
t
n
p−1
dt.
Comme x = / 0 et p = / 0 le crochet se simplifie :
t x
x
1 −
t
n
p n
0
= 0
d'où l'égalité
I n, p (x) =
p
nx
n
0
t
x
1 −
t
n
p−1
dt =
p
nx
I n, p−1 (x + 1).
Si p 2, on peut appliquer encore une fois la formule précédente :
I n, p (x) =
p
nx
I n, p−1 (x + 1) =
p
nx
p − 1
n(x + 1)
I n, p−2 (x + 2).
En répétant p fois ceci on aura la formule :
I n, p (x) =
p
nx
· · ·
1
n(x + p − 1)
I n,0 (x + p).
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Chapitre 7 • Intégration