4. Montrer que :
lim
n→∞
n x n!
x(x + 1) · · · (x + n)
= (x).
5. En déduire, à l'aide de la formule de Stirling, la valeur de
1
2
.
1. Il y a deux cas à distinguer selon la position de x par rapport à 1 : quand x 1,
la fonction intégrée est continue sur le segment [0,n] ce qui suffit pour montrer
l'existence de l'intégrale. Pour x ∈]0,1[ , la puissance de t est négative et il va falloir
étudier plus en détail le comportement en 0.
Comme il n'y a ici que des fonctions puissances un calcul d'équivalent en 0 permettra d'utiliser le critère de comparaison aux intégrales de Riemann.
Fixons deux entiers n > 0 et p 0 quelconques et un réel x > 0.
Premier cas : x 1.
La fonction t → t
x−1
1 −
t
n
p
est définie et continue sur le segment
[0,n] et donc intégrable ; I n, p (x) est alors bien définie.
Deuxième cas : x ∈]0,1[.
La fonction t → t
x−1
1 −
t
n
p
est définie et continue sur ]0,n], il reste
à étudier le comportement en 0.
Quand t tend vers 0, elle est équivalente à t x−1 , qui est intégrable au voisinage de 0 car x − 1 > −1.
D'après le critère de comparaison avec les intégrales de Riemann cette fonction est donc également intégrable au voisinage de 0 et I n, p (x) est donc
également bien définie.
2. Ce cas est élémentaire car on doit intégrer une simple fonction puissance.
Comme x = / 0, une primitive de t → t x−1 est t →
t x
x
.
Ainsi, pour tout n ∈ N ∗ :
I n,0 (x) =
n
0
t
x−1 dt =
t x
x
n
0
=
n x
x
.
3. Commençons par comparer les expressions de I n, p (x) et I n, p−1 (x + 1) :
I n, p (x) =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
p
dt
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Chapitre 7 • Intégration