Lorsque A tend vers +∞ :
•
A
0
e
−xt f (t) dt tend vers ϕ(x), par définition de ϕ ;
•
A
0
f (t) dt tend vers , par définition de ;
• x|1 − g(Ax) cos(A)| tend vers x car, comme x > 0,
lim
A→+∞
g(Ax) = lim
t→+∞
g(t) = 0 ;
•
Ax
0
|g
(u)|du tend vers
+∞
0
|g
(u)|du car g est intégrable sur R + .
L'inégalité obtenue précédemment donne donc, quand A tend vers +∞ :
|ϕ(x) − | x
1 +
+∞
0
|g
(u)|du
.
C'est parce que g est intégrable sur R + que la limite de
Ax
0
|g
(u)|du existe et
est finie quand A tend vers +∞ . Cette propriété de g est donc essentielle pour
conclure.
5. La question précédente montre que ϕ tend vers en 0. Par ailleurs, on connaît
l'expression de ϕ(x) pour x > 0 d'après l'exercice précédent ; il ne reste qu'à combiner ces deux résultats.
D'après la question précédente, il existe une constante M telle que, pour
tout réel x > 0, |ϕ(x) − | Mx. En particulier, lim
x→0
ϕ(x) = .
Par ailleurs on sait d'après l'exercice précédent que, pour tout réel x > 0,
ϕ(x) =
π
2
− arctan(x). On a donc lim
x→0
ϕ(x) =
π
2
.
Par unicité de la limite il vient :
+∞
0
sin(t)
t
dt =
π
2
.
Exercice 7.9 : Une formule d'Euler
Pour n ∈ N ∗ , p ∈ N et x ∈ R ∗
+ on pose I n, p (x) =
n
0
t
x−1
1 −
t
n
p
dt .
1. Justifier l'existence de ces intégrales.
2. Calculer I n,0 (x).
3. Donner, pour p 1, une relation entre I n, p (x) et I n, p−1 (x + 1) ; en déduire
l'expression de I n, p (x) en fonction de n, p et x mais sans intégrale.
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Chapitre 7 • Intégration