Enfin, pour avoir g(u) plutôt que g(xt) dans l'intégrale, il suffit de poser u = xt,
soit t = u/x ; ceci est licite car x = / 0. Les bornes 0 et A deviennent alors 0 et Ax
et dt = du/x .
Effectuons le changement de variable u = xt. Il vient :
A
0
−xg(xt) sin(t) dt = −
Ax
0
g(u) sin(u/x)du.
4. Il faudra faire apparaître des intégrales de 0 à +∞ : pour cela, nous pourrons
chercher à faire tendre A vers +∞ dans le résultat précédent. En effet, le membre
de gauche de l'inégalité de la question précédente tend, par définition, vers ϕ(x) −
quand A tend vers +∞.
Avant cela, remarquons que le résultat est exprimé à l'aide de g et non de g. Pour
faire apparaître une intégrale faisant intervenir g à partir d'une intégrale faisant
intervenir g, l'outil le plus évident est l'intégration par parties.
Nous utiliserons la dérivée de g et il nous faut donc une primitive de u → sin(u/x),
par exemple u → −xcos(u/x).
Il faut être prudent sur les noms de variables. Ici, nous effectuons une intégration
par parties sur une intégrale d'une fonction de variable u. La variable x est ici une
constante !
Une intégration par parties donne :
Ax
0
g(u)sin(u/x)du =
− xg(u)cos(u/x)
u=Ax
u=0
+ x
Ax
0
g
(u)cos(u/x)du.
Le crochet vaut :
− xg(u)cos(u/x)
u=Ax
u=0
= x(1 − g(Ax)cos(A)).
On a donc
A
0
e
−xt f (t) dt −
A
0
f (t) dt
=
Ax
0
g(u)sin(u/x)du
x|1 − g(Ax)cos(A)|
+ x
Ax
0
|g
(u)cos(u/x)|du
x|1 − g(Ax)cos(A)| + x
Ax
0
|g
(u)|du.
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Chapitre 7 • Intégration