Ainsi, la fonction g est continue sur R + , de classe C 1 sur R ∗
+ et g converge
en 0. La fonction g est donc de classe C 1 sur R + .
Si vous avez déjà étudié les séries entières, vous pouvez montrer que
g(x) =
+∞
n=0
(−1) n
(n + 1)!
x
n et est donc de classe C ∞ sur R comme somme d'une série
entière de rayon de convergence infini.
2. Nous savons déjà que g est continue sur R. Pour montrer qu'elle est intégrable
sur R + il suffit d'étudier son comportement en +∞. Comme l'expression de g fait
intervenir des polynômes et des exponentielles on peut chercher à comparer g à des
fonctions puissances.
La fonction g est continue sur R + .
On remarque que x 2 g (x) = xe −x − (1 − e −x ) tend vers −1 quand x tend
vers +∞ ; on a donc |g
(x)| ∼
1
x 2 quand x tend vers +∞. D'après le critère de comparaison avec les intégrales de Riemann, g est donc intégrable
au voisinage de +∞.
Par ailleurs, g est continue en 0 donc intégrable au voisinage de 0.
Ainsi, g est intégrable sur R + .
3. Sachant que f (t) = sin(t)/t on a
(e
−xt
− 1) f (t) = (e
−xt
− 1)
sin(t)
t
.
L'argument de l'exponentielle étant xt, nous pouvons faire apparaître g(xt)
=
1 − e −xt
xt
en écrivant
(e
−xt
− 1)
sin(t)
t
=
e −xt − 1
xt
xsin(t).
On a successivement, par définition des fonctions f et g :
A
0
e
−xt f (t) dt −
A
0
f (t) dt =
A
0
(e
−xt
− 1) f (t) dt
=
A
0
−xtg(xt) f (t) dt
=
A
0
−xg(xt)sin(t) dt.
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Chapitre 7 • Intégration