3. Soient A et x deux réels strictement positifs. Montrer que :
A
0
e
−xt f (t) dt −
A
0
f (t) dt = −
Ax
0
g(u)sin(u/x)du.
4. Montrer que, pour tout réel x > 0 :
|ϕ(x) − | x
1 +
+∞
0
|g
(u)|du
.
5. En déduire la valeur de .
1. La fonction g est clairement de classe C 1 sur R ∗
+ . Le seul problème se pose en 0 :
il faut montrer que g est bien dérivable en 0 et que, de plus, g est continue en 0.
Cependant, dans ce type de situation, on peut se contenter de montrer un résultat en
apparence plus faible : pour montrer que g est de classe C 1 sur R + sachant qu'elle
est de classe C 1 sur R ∗
+ , il suffit de montrer qu'elle est continue sur R + et que g
converge en 0.
La fonction g est de classe C 1 sur R ∗
+ .
Par ailleurs, g est continue en 0. En effet, on a le développement limité,
quand x tend vers 0 : e −x = 1 − x + o(x). Ainsi, toujours quand x tend
vers 0 : g(x) = 1 + o(1), i.e. lim
x→0
g(x) = 1 = g(0). La fonction g est
donc bien continue en 0.
Pour étudier la limite de g en 0 nous aurons encore affaire à une forme indéterminée mais, cette fois, avec x 2 au dénominateur. Un développement limité à l'ordre 2
en 0 du numérateur permettra de conclure.
Un calcul élémentaire donne :
∀x ∈ R
∗
+ ,g
(x) =
xe −x − (1 − e −x )
x 2
.
Utilisons cette fois-ci un développement limité à l'ordre 2 en 0 :
e
−x
= 1 − x +
1
2
x
2
+ o(x
2
).
En ne retenant au cours des calculs que les termes de degré n'excédant pas 2 :
xe
−x
− (1 − e
−x
) = x − x
2
− (x −
1
2
x
2
) + o(x
2
) = −
1
2
x
2
+ o(x
2
)
d'où lim
x→0
g
(x) = −
1
2
.
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Chapitre 7 • Intégration