d'où, quand T tend vers +∞ :
(1 + x
2
)
+∞
0
e
−xt sin(t) dt = 1.
3. On peut souvent être tenté d'utiliser le théorème de convergence dominée pour
déterminer la limite en +∞ d'une intégrale à paramètre, en étudiant la limite quand
n tend vers +∞ de
+∞
0
e
−x n t f (t) dt où (x n ) n∈N est une suite quelconque de réels
positifs tendant vers +∞. Même si cela fonctionne bien et est parfois nécessaire il
est souvent plus rentable d'essayer une majoration directe.
Nous avons vu que | f | 1. On a donc
|ϕ(x)|
+∞
0
|e
−xt f (t)| dt
+∞
0
e
−xt dt =
1
x
d'où l'on tire
lim
x→+∞
ϕ(x) = 0.
Par ailleurs, nous savons que, pour tout réel x > 0, ϕ
(x) = −
1
1 + x 2 . Il
existe donc un réel K tel que :
∀x ∈ R
∗
+ ,ϕ(x) = K − arctan(x).
L'expression ci-dessus tend vers K − π/2 quand x tend vers +∞. Étant
donné par ailleurs que ϕ tend vers 0 en +∞, on en déduit que K =
π
2
,
d'où finalement :
∀x ∈ R
∗
+ ,ϕ(x) =
π
2
− arctan(x).
Exercice 7.8 : Calcul de l'intégrale de Dirichlet
On garde les notations de l'exercice précédent. On pose = lim
A→+∞
A
0
f (t) dt .
1. Montrer que la fonction définie par g(x) =
1 − e −x
x
, pour x > 0, et g(0) = 1 ,
est de classe C 1 sur R + .
2. Démontrer que g est intégrable sur R + .
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Chapitre 7 • Intégration