Pour calculer l'intégrale d'un produit d'une exponentielle et d'une fonction circulaire
on peut passer par les nombres complexes. Ici, nous utiliserons le fait que
sin(t) = Im(e it ).
Rappelons que, si λ est un nombre complexe de partie réelle strictement négative,
la fonction t → e λt est intégrable sur R + et
+∞
0
e
λt dt = −
1
λ
.
En utilisant la relation sin(t) = Im(e it ), on a successivement
+∞
0
e
−xt sin(t) dt =
+∞
0
e
−xt Im(e
it
) dt
= Im
+∞
0
e
(i−x)t dt
= Im
1
x − i
= Im
x + i
1 + x 2
=
1
1 + x 2 ,
d'où
∀x ∈ R
∗
+ ,ϕ
(x) = −
1
1 + x 2 .
Ce type d'intégrale peut aussi se calculer en intégrant deux fois par parties. Plus
précisément :
T
0
e
−xt sin(t) dt =
− e
−xt cos(t)
t=T
t=0
−
T
0
xe
−xt cos(t) dt
=
− e
−xt cos(t)
t=T
t=0
−
xe
−xt sin(t)
t=T
t=0
−
T
0
x
2 e
−xt sin(t) dt
= (1 − e
−xT cos(T )) − (xe
−xT sin(T ))
−x
2
T
0
e
−xt sin(t) dt
soit, en regroupant les intégrales dans le même membre :
(1 + x
2
)
T
0
e
−xt sin(t) dt = 1 − e
−xT cos(T ) − xe
−xT sin(T )
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Chapitre 7 • Intégration