Ainsi :
A
0
sin(t)
t
dt =
1 − cos(A)
A
+
A/2
0
sin
2
(x)
x 2 dx
Le premier terme du membre de droite tend vers 0 quand A tend vers +∞ ;
le second converge, car la fonction x →
sin
2
(x)
x 2 est intégrable sur R ∗
+ , vers
+∞
0
sin
2
(x)
x 2 dx . Ainsi
lim
A→+∞
A
0
sin(t)
t
dt =
+∞
0
sin
2
(x)
x 2 dx.
Exercice 7.7 : Transformée de Laplace du sinus cardinal
On pose, pour t > 0, f (t) =
sin(t)
t
, et f (0) = 1 (f est la fonction sinus cardinal,
que l'on rencontre en physique dans l'étude du phénomène de diffraction).
D'après l'exercice précédent on sait que f est continue, non intégrable sur R +
mais que
A
0
f (t) dt possède une limite finie quand A tend vers +∞. Le but de
cet exercice et du suivant est de calculer cette limite.
Pour x ∈ R ∗
+ on pose :
ϕ(x) =
+∞
0
e
−xt f (t) dt.
1. Démontrer que ϕ est définie et de classe C 1 sur R ∗
+ .
2. Calculer explicitement (sans intégrale) la valeur de ϕ (x) pour tout réel x > 0.
3. Déterminer la limite de ϕ en +∞ ; en déduire l'expression de ϕ(x) sans intégrale pour tout réel x > 0.
1. L'application du théorème de continuité des intégrales à paramètre est immédiate
grâce à l'exponentielle qui assure l'intégrabilité.
Nous savons que, pour tout réel t, |sin(t)| |t|(il suffit d'appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction sinus, dont la dérivée est majorée
en valeur absolue par 1, entre 0 et t). Ainsi, | f | 1.
Vérifions que, pour tout réel x > 0 fixé, la fonction t → e −xt f (t) est intégrable sur [0,+∞[.
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Chapitre 7 • Intégration