Lorsque h tend vers 0, on a cos(h) = 1 + o(h) et donc
K − cos(h)
h
=
K − 1
h
+ o(1).
En choisissant K = 1 on a donc lim
h→0
K − cos(h)
h
= 0 et le problème de convergence du crochet quand h tend vers 0 est résolu.
Par ailleurs, le numérateur de l'intégrande de la deuxième intégrale est 1 − cos(t),
qui est égal à 2 sin
2
(t/2) d'après les formules de trigonométrie usuelles : voici le
carré du sinus qui nous rapproche de la solution annoncée.
Pour deux réels h et A tels que 0 < h < A on a, en intégrant par parties :
A
h
sin(t)
t
dt =
1 − cos(t)
t
A
h
+
A
h
1 − cos(t)
t 2
dt
(nous avons choisi 1 − cos comme primitive de sin).
D'une part :
1 − cos(t)
t
A
h
=
1 − cos(A)
A
−
1 − cos(h)
h
qui tend vers
1 − cos(A)
A
quand h tend vers 0 ;
d'autre part, étant donné que 1 − cos(t) = 2 sin
2
(t/2) :
A
h
1 − cos(t)
t 2
dt =
A
h
2 sin
2
(t/2)
t 2
dt.
Il faut désormais sin(t) plutôt que sin(t/2) dans l'intégrale du second membre : le
changement de variable x = t/2 est tout indiqué.
En effectuant le changement de variable x = t/2 il vient
A
h
2 sin
2
(t/2)
t 2
dt =
A/2
h/2
2 sin
2
(x)
(2x) 2 2 dx =
A/2
h/2
sin
2
(x)
x 2 dx.
La fonction x →
sin
2
(x)
x 2 étant intégrable sur R ∗
+ cette dernière expression
converge, quand h tend vers 0, vers
A/2
0
sin
2
(x)
x 2 dx.
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Chapitre 7 • Intégration