iii) Étude de g en +∞ :
Pour tout réel t > 0 on a 0 g(t) 1/t 2 car |sin| 1. Ceci montre que
la fonction g est intégrable au voisinage de +∞, d'après le critère de comparaison avec les intégrales de Riemann.
En conclusion, la fonction t →
sin
2
(t)
t 2 est intégrable sur R ∗
+ .
La domination par une fonction puissance intégrable, comme dans cette question,
est un moyen rapide et simple de montrer qu'une fonction est intégrable. Elle est
à utiliser dès que possible !
Notons qu'il existe un théorème analogue dans le cadre des séries numériques
(comparaison avec les séries de Riemann).
4. Nous allons reprendre l'intégration par parties effectuée pour montrer l'existence
de la limite à la première question : ceci fera apparaître t 2 au dénominateur et un
peu de trigonométrie nous permettra de faire apparaître sin
2
(t) au numérateur.
Il va cependant falloir être plus précis : nous ne pouvons nous contenter d'intégrales
de 1 à A, il faudra in fine faire apparaître des intégrales de 0 à A.
Afin d'y arriver en n'écrivant que des calculs ayant bien un sens nous allons considérer des intégrales sur des segments de la forme [h,A], avec 0 < h < A, puis faire
tendre h vers 0. Nous avons en effet vu précédemment que la borne 0 était problématique.
Cependant, nous allons retomber sur le même problème ; bien que l'égalité
A
h
sin(t)
t
dt =
−
cos(t)
t
A
h
−
A
h
cos(t)
t 2 dt
ait un sens (car h > 0), le crochet vaut
cos(h)
h
−
cos(A)
A
et diverge donc quand h
tend vers 0.
Il s'agit d'améliorer l'intégration par parties. Lorsque l'on demande une primitive de
sin on pense immédiatement à −cos mais c'est oublier que toutes les fonctions de
la forme K − cos, avec K constante, conviennent !
Il est possible de choisir K de sorte que le crochet et l'intégrale issus de l'intégration par parties convergent. Partons de l'expression
A
h
sin(t)
t
dt =
K − cos(t)
t
A
h
+
A
h
K − cos(t)
t 2
dt.
Le crochet vaut
K − cos(A)
A
−
K − cos(h)
h
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
215
Chapitre 7 • Intégration
Pour tout réel t > 0 on a 0 g(t) 1/t 2 car |sin| 1. Ceci montre que
la fonction g est intégrable au voisinage de +∞, d'après le critère de comparaison avec les intégrales de Riemann.
En conclusion, la fonction t →
sin
2
(t)
t 2 est intégrable sur R ∗
+ .
La domination par une fonction puissance intégrable, comme dans cette question,
est un moyen rapide et simple de montrer qu'une fonction est intégrable. Elle est
à utiliser dès que possible !
Notons qu'il existe un théorème analogue dans le cadre des séries numériques
(comparaison avec les séries de Riemann).
4. Nous allons reprendre l'intégration par parties effectuée pour montrer l'existence
de la limite à la première question : ceci fera apparaître t 2 au dénominateur et un
peu de trigonométrie nous permettra de faire apparaître sin
2
(t) au numérateur.
Il va cependant falloir être plus précis : nous ne pouvons nous contenter d'intégrales
de 1 à A, il faudra in fine faire apparaître des intégrales de 0 à A.
Afin d'y arriver en n'écrivant que des calculs ayant bien un sens nous allons considérer des intégrales sur des segments de la forme [h,A], avec 0 < h < A, puis faire
tendre h vers 0. Nous avons en effet vu précédemment que la borne 0 était problématique.
Cependant, nous allons retomber sur le même problème ; bien que l'égalité
A
h
sin(t)
t
dt =
−
cos(t)
t
A
h
−
A
h
cos(t)
t 2 dt
ait un sens (car h > 0), le crochet vaut
cos(h)
h
−
cos(A)
A
et diverge donc quand h
tend vers 0.
Il s'agit d'améliorer l'intégration par parties. Lorsque l'on demande une primitive de
sin on pense immédiatement à −cos mais c'est oublier que toutes les fonctions de
la forme K − cos, avec K constante, conviennent !
Il est possible de choisir K de sorte que le crochet et l'intégrale issus de l'intégration par parties convergent. Partons de l'expression
A
h
sin(t)
t
dt =
K − cos(t)
t
A
h
+
A
h
K − cos(t)
t 2
dt.
Le crochet vaut
K − cos(A)
A
−
K − cos(h)
h
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Intégration