On déduit de l'inégalité précédente, pour tout réel A 1 :
A
1
sin(t)
t
dt
A
1
1
2t
(1 − cos(2t)) dt
1
2
ln(A) −
A
1
cos(2t)
2t
dt.
Le premier terme du minorant tend vers +∞ quand A tend vers +∞ : c'est un bon
début.
Il reste à étudier le comportement de l'intégrale. On reconnaît une expression analogue à celle de la première question; nous allons utiliser la même technique de calcul, l'intégration par parties, pour voir qu'elle est aussi convergente.
Intégrons par parties comme précédemment
A
1
cos(2t)
2t
dt =
sin(2t)
4t
A
1
+
A
1
sin(2t)
4t 2 dt.
Ici encore le crochet converge quand A tend vers +∞ et l'intégrale aussi
car la fonction intégrée est dominée par t −2 et donc intégrable sur [1,+∞[.
Ainsi,
1
2
ln(A) −
A
1
cos(2t)
2t
dt est la différence d'un premier terme qui
tend vers +∞ quand A tend vers +∞ et d'un second qui converge ; cette
différence tend donc vers +∞ et, comme elle minore
A
1
sin(t)
t
dt, on en
déduit que :
lim
A→+∞
A
1
sin(t)
t
dt = +∞.
Ainsi, la fonction t →
sin(t)
t
n'est pas intégrable sur R ∗
+ puisque, dans le
cas contraire, l'intégrale précédente serait convergente.
3. Il n'y a ici aucun problème grâce au dénominateur t 2 qui va assurer l'intégrabilité
au voisinage de +∞.
Pour t ∈ R ∗
+ notons g(t) =
sin
2
(t)
t 2 .
i) g est continue sur R ∗
+ .
ii) Étude de g en 0 :
D'après les limites usuelles, lim
t→0
g(t) = 1 . La fonction g est donc intégrable
au voisinage de 0.
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Chapitre 7 • Intégration