On a, pour tout réel A > 0 :
A
0
sin(t)
t
dt =
1
0
sin(t)
t
dt +
A
1
sin(t)
t
dt.
Ainsi, il suffit de démontrer que la dernière intégrale converge quand A tend
vers +∞.
Pour cela, intégrons par parties en primitivant sin(t) et dérivant 1/t :
A
1
sin(t)
t
dt =
−
cos(t)
t
A
1
−
A
1
cos(t)
t 2 dt.
D'une part :
−
cos(t)
t
A
1
= cos(1) −
cos(A)
A
,
qui a une limite finie (à savoir cos(1)) quand A tend vers +∞.
D'autre part :
pour tout réel t 1, on a
cos(t)
t 2
1
t 2 . Or la fonction t →
1
t 2 est intégrable sur [1,+∞[, donc t →
cos(t)
t 2 aussi. Ainsi, l'expression
A
1
cos(t)
t 2 dt
est convergente quand A tend vers +∞ (à savoir vers
+∞
1
cos(t)
t 2 dt).
En conclusion :
A
0
sin(t)
t
dt possède une limite finie quand A tend vers +∞.
2. Nous avons déjà signalé ci-dessus qu'il n'y a pas de problème d'intégrabilité en 0.
Nous allons donc étudier le problème en +∞ en ne considérant toujours, pour des
raisons pratiques de calcul, que des intégrales de 1 à A.
La trigonométrie permet de faire le lien entre sin(t) et cos(2t) : cos(2t) =
1 − 2 sin
2
(t). Nous sommes donc amenés à comparer |sin(t)| et sin
2
(t).
Pour tout réel a ∈ [0,1], a 2 |a|. Ainsi :
|sin(t)| sin
2
(t) =
1
2
(1 − cos(2t)).
En divisant par |t| > 0 et intégrant de 1 à A on obtiendra une minoration de
A
1
sin(t)
t
dt,
le but étant de montrer que cette expression tend vers +∞ quand A tend vers +∞.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
213
Chapitre 7 • Intégration