3. Démontrer que la fonction t →
sin
2
(t)
t 2 est intégrable sur R ∗
+ .
4. Montrer, sans calculer explicitement les intégrales, que :
lim
A→+∞
A
0
sin(t)
t
dt =
+∞
0
sin
2
(t)
t 2 dt.
Cette limite est généralement désignée sous le nom d'intégrale de Dirichlet.
1. Notons tout d'abord que, étant donné un réel A > 0, la fonction t →
sin(t)
t
est
bien intégrable sur ]0,A] ; en effet, elle y est continue et elle converge en 0 (vers 1 :
c'est une limite usuelle). L'intégrale apparaissant dans cette question a bien un sens.
On sait que la limite démandée existe si t →
sin(t)
t
est intégrable sur ]0,+∞[.
Cependant ce n'est pas le cas, ainsi que l'affirme le résultat annoncé à la deuxième
question ! Toutefois, ceci n'empêche pas cette limite d'exister.
Étant donné que nous ne pourrons pas majorer
sin(t)
t
par une fonction intégrable
sur ]0,+∞[ nous allons employer un procédé classique pour « renforcer la convergence » : intégrer par parties. Plus précisément, nous essaierons ainsi, grâce au facteur 1/t de l'intégrale initiale, de faire apparaître une autre intégrale avec un facteur
1/t 2 qui permettra d'assurer la convergence.
Cependant, un problème se pose. Si nous écrivons brutalement
A
0
sin(t)
t
dt =
−
cos(t)
t
A
0
−
A
0
cos(t)
t 2 dt
l'expression de droite n'a aucun sens : le crochet n'est pas défini pour t = 0 et l'intégrale n'existe pas non plus car t −2 cos(t) ∼ t −2 quand t tend vers 0 et t −2 n'est pas
intégrable au voisinage de 0 d'après le critère de Riemann.
Heureusement nous pouvons contourner facilement ce problème. En écrivant
A
0
sin(t)
t
dt =
1
0
sin(t)
t
dt +
A
1
sin(t)
t
dt
nous avons exprimé l'intégrale étudiée comme somme d'une constante (l'intégrale
de 0 à 1) et d'une intégrale pour laquelle l'intégration par parties se passe sans problème (elle va de 1 à A et t ne prend donc jamais la valeur 0). Bien sûr la valeur de
l'intégrale de 0 à 1 reste inconnue mais c'est ici sans importance : on cherche à
démontrer que la limite demandée existe, pas à la calculer explicitement !
212
Chapitre 7 • Intégration
sin
2
(t)
t 2 est intégrable sur R ∗
+ .
4. Montrer, sans calculer explicitement les intégrales, que :
lim
A→+∞
A
0
sin(t)
t
dt =
+∞
0
sin
2
(t)
t 2 dt.
Cette limite est généralement désignée sous le nom d'intégrale de Dirichlet.
1. Notons tout d'abord que, étant donné un réel A > 0, la fonction t →
sin(t)
t
est
bien intégrable sur ]0,A] ; en effet, elle y est continue et elle converge en 0 (vers 1 :
c'est une limite usuelle). L'intégrale apparaissant dans cette question a bien un sens.
On sait que la limite démandée existe si t →
sin(t)
t
est intégrable sur ]0,+∞[.
Cependant ce n'est pas le cas, ainsi que l'affirme le résultat annoncé à la deuxième
question ! Toutefois, ceci n'empêche pas cette limite d'exister.
Étant donné que nous ne pourrons pas majorer
sin(t)
t
par une fonction intégrable
sur ]0,+∞[ nous allons employer un procédé classique pour « renforcer la convergence » : intégrer par parties. Plus précisément, nous essaierons ainsi, grâce au facteur 1/t de l'intégrale initiale, de faire apparaître une autre intégrale avec un facteur
1/t 2 qui permettra d'assurer la convergence.
Cependant, un problème se pose. Si nous écrivons brutalement
A
0
sin(t)
t
dt =
−
cos(t)
t
A
0
−
A
0
cos(t)
t 2 dt
l'expression de droite n'a aucun sens : le crochet n'est pas défini pour t = 0 et l'intégrale n'existe pas non plus car t −2 cos(t) ∼ t −2 quand t tend vers 0 et t −2 n'est pas
intégrable au voisinage de 0 d'après le critère de Riemann.
Heureusement nous pouvons contourner facilement ce problème. En écrivant
A
0
sin(t)
t
dt =
1
0
sin(t)
t
dt +
A
1
sin(t)
t
dt
nous avons exprimé l'intégrale étudiée comme somme d'une constante (l'intégrale
de 0 à 1) et d'une intégrale pour laquelle l'intégration par parties se passe sans problème (elle va de 1 à A et t ne prend donc jamais la valeur 0). Bien sûr la valeur de
l'intégrale de 0 à 1 reste inconnue mais c'est ici sans importance : on cherche à
démontrer que la limite demandée existe, pas à la calculer explicitement !
212
Chapitre 7 • Intégration