et
t x
x
e
−t
t=b
t=a
=
b x
x
e
−b
−
a x
x
e
−a
donc, quand a tend vers 0,
b
0
t
x−1 e
−t dt =
b x
x
e
−b
+
1
x
b
0
t
x e
−t dt
et, quand b tend vers +∞ :
(x) =
1
x
(x + 1).
Ceci étant établi, on peut calculer à la main les premières valeurs de (n) pour en
déduire une formule que nous vérifierons rigoureusement par récurrence.
Tout d'abord, (1) =
+∞
0
e
−t dt = 1. On en déduit (2) = 1 × (1) = 1,
(3) = 2 × (2) = 2 , (4) = 3 × (3) = 6 ,… La situation est claire : nous
allons démontrer par récurrence que (n) = (n − 1)! .
Pour n ∈ N ∗ on pose H n : « (n) = (n − 1)! ».
• H 1 est vraie. En effet, (1) =
+∞
0
e
−t dt qui vaut 1 = 0 ! d'après le
cours.
• Soit n ∈ N ∗ telle que H n est vraie. On a (n + 1) = n(n) d'après la
propriété vue précédemment et, par hypothèse, (n) = (n − 1)! . On a donc
(n) = n(n − 1)! = n! donc H n+1 est vraie.
• Conclusion : pour tout n ∈ N ∗ , (n) = (n − 1)! .
Exercice 7.6 : Convergence de l'intégrale de Dirichlet
1. Démontrer que
A
0
sin(t)
t
dt possède une limite finie quand A tend vers +∞.
On ne cherchera pas à la calculer explicitement, la détermination de sa valeur faisant l'objet des deux exercices suivants.
2. Démontrer que la fonction t →
sin(t)
t
n'est pas intégrable sur R ∗
+ . Pour cela,
on pourra remarquer que |sin(t)|
1
2
(1 − cos(2t)).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
211
Chapitre 7 • Intégration