Nous voulons également que t → t c soit intégrable au voisinage de 0. Pour cela, il
faut (et il suffit de) avoir c > −1. Nous pouvons donc choisir n'importe quel
c ∈] − 1,a − 1[, par exemple le milieu de cet intervalle : a/2 − 1.
En +∞, les calculs sont plus simples : on a toujours lim
t→∞
t
−c g(t) = 0, quel que soit
le réel c. On peut donc par exemple prendre c = −2 pour obtenir g(t) = o(1/t 2 ) et
donc l'intégrabilité en +∞.
On a alors :
∀(x,t) ∈ [a,b] × R
∗
+ ,|ln(t)t
x−1 e
−t
| |g(t)|.
Par ailleurs, g est intégrable sur R ∗
+ . En effet
i) g est continue sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[ et aussi en 1.
ii) lim
t→0
t
1−a/2 g(t) = 0 donc g(t) = o(t a/2−1 ) quand t tend vers 0. Or
t → t a/2−1 est intégrable au voisinage de 0 car a/2 − 1 > −1 donc g est
intégrable au voisinage de 0.
iii) lim
t→∞
t
2 g(t) = 0 donc g(t) = o(1/t 2 ) quand t tend vers +∞. Or
t → 1/t 2 est intégrable au voisinage de +∞ donc g est intégrable au voisinage de +∞.
En résumé, nous avons
∀(x,t) ∈ [a,b] × R
∗
+ ,|ln(t)t
x−1 e
−t
| |g(t)| et g est intégrable sur R
∗
+
donc l'hypothèse de domination sur tout segment est vérifiée.
En conclusion, est de classe C 1 sur R ∗
+ et
∀x ∈ R
∗
+ ,,
(x) =
+∞
0
ln(t)t
x−1 e
−t dt.
2. Nous devons trouver une relation entre une intégrale faisant intervenir t x−1 et une
intégrale faisant intervenir t x , ce qui suggère une intégration par parties.
Afin que tous les calculs effectuées aient bien un sens nous allons les effectuer sur
un intervalle [a,b] avec 0 < a < b , puis nous ferons tendre a vers 0 et b vers
+∞ . C'est une précaution qu'il est conseillé de prendre car parfois un choix malheureux de primitive peut rendre le crochet et l'intégrale divergents (cf. exercice 1.6 sur l'intégrale de Dirichlet).
Pour 0 < a < b on a, en intégrant par parties :
b
a
t
x−1 e
−t dt =
t x
x
e
−t
t=b
t=a
+
b
a
t x
x
e
−t dt
210
Chapitre 7 • Intégration
faut (et il suffit de) avoir c > −1. Nous pouvons donc choisir n'importe quel
c ∈] − 1,a − 1[, par exemple le milieu de cet intervalle : a/2 − 1.
En +∞, les calculs sont plus simples : on a toujours lim
t→∞
t
−c g(t) = 0, quel que soit
le réel c. On peut donc par exemple prendre c = −2 pour obtenir g(t) = o(1/t 2 ) et
donc l'intégrabilité en +∞.
On a alors :
∀(x,t) ∈ [a,b] × R
∗
+ ,|ln(t)t
x−1 e
−t
| |g(t)|.
Par ailleurs, g est intégrable sur R ∗
+ . En effet
i) g est continue sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[ et aussi en 1.
ii) lim
t→0
t
1−a/2 g(t) = 0 donc g(t) = o(t a/2−1 ) quand t tend vers 0. Or
t → t a/2−1 est intégrable au voisinage de 0 car a/2 − 1 > −1 donc g est
intégrable au voisinage de 0.
iii) lim
t→∞
t
2 g(t) = 0 donc g(t) = o(1/t 2 ) quand t tend vers +∞. Or
t → 1/t 2 est intégrable au voisinage de +∞ donc g est intégrable au voisinage de +∞.
En résumé, nous avons
∀(x,t) ∈ [a,b] × R
∗
+ ,|ln(t)t
x−1 e
−t
| |g(t)| et g est intégrable sur R
∗
+
donc l'hypothèse de domination sur tout segment est vérifiée.
En conclusion, est de classe C 1 sur R ∗
+ et
∀x ∈ R
∗
+ ,,
(x) =
+∞
0
ln(t)t
x−1 e
−t dt.
2. Nous devons trouver une relation entre une intégrale faisant intervenir t x−1 et une
intégrale faisant intervenir t x , ce qui suggère une intégration par parties.
Afin que tous les calculs effectuées aient bien un sens nous allons les effectuer sur
un intervalle [a,b] avec 0 < a < b , puis nous ferons tendre a vers 0 et b vers
+∞ . C'est une précaution qu'il est conseillé de prendre car parfois un choix malheureux de primitive peut rendre le crochet et l'intégrale divergents (cf. exercice 1.6 sur l'intégrale de Dirichlet).
Pour 0 < a < b on a, en intégrant par parties :
b
a
t
x−1 e
−t dt =
t x
x
e
−t
t=b
t=a
+
b
a
t x
x
e
−t dt
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Chapitre 7 • Intégration