t ∈]0,1], l'autre pour t ∈ [1,+∞[. La fonction majorante |g| obtenue sera ainsi
définie par deux formules selon la position de t par rapport à 1.
Soient deux réels a et b avec 0 < a < b et x ∈ [a,b].
Pour t > 1 , on a (x − 1)ln(t) (b − 1)ln(t), car ln(t) > 0 , donc
0 < t x−1 t b−1 et enfin, comme ln(t) et e −t sont positifs :
0 < ln(t)t
x−1 e
−t ln(t)t
b−1 e
−t
.
Pour t < 1, on a (x − 1)ln(t) (a − 1)ln(t) , car ln(t) < 0 , donc
0 < t x−1 t a−1 et enfin, comme ln(t) < 0 et e −t > 0 :
ln(t)t
a−1 e
−t ln(t)t
x−1 e
−t
< 0,
ou encore
|ln(t)t
x−1 e
−t
| |ln(t)t
a−1 e
−t
|.
Soit g : R ∗
+ → R définie par :
g(t) = ln(t)t b−1 e −t , si t > 1
g(t) = ln(t)t a−1 e −t , si t < 1
g(1) = 0.
L'intégrabilité de g n'est pas a priori évidente car les formules la définissant sont
compliquées. On peut résoudre ce problème en cherchant simplement à comparer g
à des fonctions puissances.
En effet, si on a g(t) = o(t c ) quand t tend vers 0 avec c > −1 alors g est intégrable
au voisinage de 0.
La relation g(t) = o(t c ) quand t tend vers 0 est équivalente à lim
t→0
t
−c g(t) = 0. Or
de telles limites se calculent simplement avec les théorèmes de comparaison de
fonctions usuelles. Si on arrive à trouver un tel c > −1 on aura donc montré que g
est intégrable au voisinage de 0 à l'aide d'un simple calcul de limite.
L'intégrabilité en +∞ pourra être examinée de façon analogue à ceci près que la
condition pour que t → t c soit intégrable au voisinage de +∞ est c < −1.
Revenons à la situation en 0 et cherchons si un réel c peut convenir.
La condition lim
t→0
t
−c g(t) = 0 est équivalente à lim
t→0
ln(t)t
a−c−1 e
−t
= 0 en utilisant
la formule définissant g(t) pour t ∈]0,1[.
L'exponentielle tendant vers 1 en 0 il suffit d'avoir lim
t→0
ln(t)t
a−c−1
= 0. Le théorème de croissance comparée des fonctions logarithme et puissance nous assure que
c'est le cas si a − c − 1 > 0. Il suffit donc d'avoir c < a − 1 pour que g(t) = o(t c )
quand t tend vers 0.
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Chapitre 7 • Intégration