Exercice 7.5 : Fonction d'Euler
Pour x ∈ R ∗
+ on pose (x) =
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
1. Montrer que est bien définie et de classe C 1 sur R ∗
+ .
2. Démontrer que, pour tout réel x > 0, (x + 1) = x (x). Que vaut (n) pour
n ∈ N ∗ ?
1. Armons-nous de courage pour vérifier les hypothèses du théorème de dérivation
des intégrales à paramètre.
La première hypothèse assure que la fonction est bien définie.
i) Pour x > 0 fixé, la fonction t → t x−1 e −t est intégrable sur R ∗
+ . En effet,
elle est continue, équivalente quand t tend vers 0 à t x−1 , qui est intégrable
au voisinage de 0 car x − 1 > −1, et dominée par 1/t 2 quand t tend vers
+∞.
La seconde hypothèse concerne la dérivée partielle par rapport à x de la fonction
intégrée. Elle est aisée à calculer si on se souvient que t x−1 e −t = e (x−1) ln(t) e −t ;
t étant considérée comme une constante dans le calcul de la dérivée partielle par
rapport à x, on a
∂
∂ x
(t
x−1 e
−t
) = ln(t)e
(x−1) ln(t) e
−t
= ln(t)t
x−1 e
−t
.
ii) La fonction (x,t) → t x−1 e −t possède une dérivée partielle par rapport à
x en tout point et
∀(x,t) ∈ (R
∗
+ )
2
,
∂
∂ x
(t
x−1 e
−t
) = ln(t)t
x−1 e
−t
.
Ce sont les hypothèses « faciles » du théorème, x étant constant dans le premier
point et t constant dans le second.
Il reste à dominer la dérivée partielle indépendamment de x.
Comme souvent ceci pose problème car x peut ici prendre de grandes valeurs.
En effet, si on a, pour tous réels x et t, l'inégalité |ln(t)t x−1 e −t | |g(t)|, il vient,
pour t > 1 fixé, en faisant tendre x vers +∞, +∞ |g(t)|. Nous allons donc nous
contenter de vérifier l'hypothèse de domination sur tout segment, i.e. d'obtenir une
majoration du type précédent pour x ∈ [a,b] plutôt que pour x ∈ R ∗
+ .
Pour encadrer la puissance t x−1 en fonction de a et b, nous pouvons encadrer son
logarithme ln(t x−1 ) = (x − 1)ln(t). Comme le signe de ln(t) dépend de la position
de t par rapport à 1 nous allons en fait obtenir deux majorations : l'une pour
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Chapitre 7 • Intégration