L'hypothèse de domination est donc vérifiée sur tout segment inclus dans
R ∗
+ . Ainsi, f est bien de classe C 1 sur R ∗
+ et de plus
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) =
1
0
∂ϕ
∂ x
(x,t) dt =
1
0
t
x−1 dt.
Il ne reste plus, enfin, qu'à calculer cette intégrale. La variable d'intégration est t :
nous allons donc effectuer les calculs en considérant x comme une constante.
Ici, nous avons affaire à une fonction puissance dont on connaît une primitive.
En appliquant le théorème de dérivation des intégrales à paramètre nous avons dérivé t x−1 par rapport à x mais, pour le calcul d'intégrale qu'il nous reste à effectuer,
nous devons déterminer une primitive de t x−1 par rapport à t.
Dans le cadre des intégrales à paramètre il est primordial de toujours bien savoir
quelle lettre désigne la variable par rapport à laquelle on dérive ou primitive et
quelle lettre désigne la variable considérée comme constante au cours du calcul…
sachant que les différentes lettres changent de rôle au fur et à mesure des différents calculs selon le théorème appliqué !
Il s'agit de l'intégrale d'une fonction puissance d'exposant différent de −1 :
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) =
1
0
t
x−1 dt =
t x
x
1
0
=
1
x
.
3. Nous savons bien sûr que la fonction logarithme est une primitive de f sur R ∗
+ .
Il s'agit de ne pas aller trop vite : f est égale à la fonction logarithme… à une
constante additive près qu'il faudra déterminer. Un moyen simple pour déterminer
une telle constante est de calculer la valeur de f en un point où ce calcul est simple.
Ici c'est la valeur en 1 qui s'impose car l'intégrale définissant f se simplifie alors
considérablement.
D'après ce qui précède, il existe un réel K tel que :
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = K + ln(x).
En particulier, il vient K = f (1).
Par ailleurs, pour x = 1, on a t x−1 = 1 pour tout t ∈]0,1[, soit ϕ(1,t) = 0
et finalement f (1) = 0 ; on a donc K = 0 soit enfin
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = ln(x).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
207
Chapitre 7 • Intégration
R ∗
+ . Ainsi, f est bien de classe C 1 sur R ∗
+ et de plus
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) =
1
0
∂ϕ
∂ x
(x,t) dt =
1
0
t
x−1 dt.
Il ne reste plus, enfin, qu'à calculer cette intégrale. La variable d'intégration est t :
nous allons donc effectuer les calculs en considérant x comme une constante.
Ici, nous avons affaire à une fonction puissance dont on connaît une primitive.
En appliquant le théorème de dérivation des intégrales à paramètre nous avons dérivé t x−1 par rapport à x mais, pour le calcul d'intégrale qu'il nous reste à effectuer,
nous devons déterminer une primitive de t x−1 par rapport à t.
Dans le cadre des intégrales à paramètre il est primordial de toujours bien savoir
quelle lettre désigne la variable par rapport à laquelle on dérive ou primitive et
quelle lettre désigne la variable considérée comme constante au cours du calcul…
sachant que les différentes lettres changent de rôle au fur et à mesure des différents calculs selon le théorème appliqué !
Il s'agit de l'intégrale d'une fonction puissance d'exposant différent de −1 :
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) =
1
0
t
x−1 dt =
t x
x
1
0
=
1
x
.
3. Nous savons bien sûr que la fonction logarithme est une primitive de f sur R ∗
+ .
Il s'agit de ne pas aller trop vite : f est égale à la fonction logarithme… à une
constante additive près qu'il faudra déterminer. Un moyen simple pour déterminer
une telle constante est de calculer la valeur de f en un point où ce calcul est simple.
Ici c'est la valeur en 1 qui s'impose car l'intégrale définissant f se simplifie alors
considérablement.
D'après ce qui précède, il existe un réel K tel que :
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = K + ln(x).
En particulier, il vient K = f (1).
Par ailleurs, pour x = 1, on a t x−1 = 1 pour tout t ∈]0,1[, soit ϕ(1,t) = 0
et finalement f (1) = 0 ; on a donc K = 0 soit enfin
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = ln(x).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Intégration