Étude au voisinage de 1 :
Pour tout réel t ∈]0,1[ :
t x−1 − 1
ln(t)
=
t x−1 − 1
t − 1
×
t − 1
ln(t)
.
D'une part,
t x−1 − 1
t − 1
tend vers le nombre dérivé en 1 de la fonction
t → t x−1 , qui est x − 1.
D'autre part
ln(t)
t − 1
tend vers le nombre dérivé en 1 de ln, qui est 1, donc
son inverse aussi.
Ainsi on a :
lim
t→1
ϕ(x,t) = x − 1.
La fonction t → ϕ(x,t) converge en 1 et est donc intégrable au voisinage
de 1.
Conclusion :
Pour tout réel x > 0 fixé, la fonction t ∈]0,1[ → ϕ(x,t) est intégrable sur
]0,1[, ce qui montre que la fonction f est bien définie pour tout x > 0.
2. Vérifions les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
Nous avons déjà vérifié la première, qui est que, pour tout x ∈ R ∗
+ , la fonction
t ∈]0,1[ → ϕ(x,t) est intégrable. Cette hypothèse sert à assurer l'existence de la
fonction f.
Il reste désormais à calculer la dérivée partielle de ϕ par rapport à x pour vérifier
l'hypothèse de domination.
Dans le calcul de la dérivée partielle de ϕ par rapport à x, c'est cette fois t qui est
traitée comme une constante. En particulier, la dérivée de t x−1 n'est pas
(x − 1)t x−2 mais
∂
∂ x
t
x−1
=
∂
∂ x
e
(x−1) ln(t)
= ln(t)e
(x−1)ln(t)
= ln(t)t
x−1
.
On a successivement
∂
∂ x
ϕ(x,t) =
1
ln(t)
∂
∂ x
t
x−1
− 1
=
1
ln(t)
ln(t)t
x−1
= t x−1 .
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Chapitre 7 • Intégration