Le comportement quand t tend vers 0 dépend du signe de l'exposant de t ; nous
allons donc distinguer les trois cas x < 1, x = 1 et x > 1.
Étude au voisinage de 0 :
Nous allons distinguer les cas x > 1, x = 1 et x < 1 car le comportement
de la fonction t → t x−1 quand t tend vers 0 dépend du signe de l'exposant.
• Si x > 1 : lim
t→0
t
x−1
= 0. Comme lim
t→0
ln(t) = −∞ on a donc
lim
t→0
ϕ(x,t) = 0 . La fonction t → ϕ(x,t) est donc intégrable au voisinage
de 0.
• Si x = 1 : lim
t→0
t
x−1
= 1. Comme lim
t→0
ln(t) = −∞ on a donc
lim
t→0
ϕ(x,t) = 0. La fonction t → ϕ(x,t) est donc intégrable au voisinage
de 0.
Si x < 1, la fonction t → t x−1 diverge vers +∞ en 0. Cependant, on sait que cette
fonction est intégrable au voisinage de 0 si son exposant est strictement supérieur à
−1, ce qui est le cas car il ne faut pas oublier que x a été supposé dans l'énoncé
strictement positif.
• Si x < 1 : on a ici une forme indéterminée car lim
t→0
t
x−1
= +∞.
Cependant, comme ln(t) tend vers +∞ quand t tend vers 0 on a
ϕ(x,t) = o(t x−1 ) quand t tend vers 0. Or x > 0, donc x − 1 > −1 et
t → t x−1 est intégrable au voisinage de 0 d'après le critère de Riemann. On
en déduit que t → ϕ(x,t) est également intégrable au voisinage de 0.
Le problème quand t tend vers 1 est d'une autre nature : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 ; nous avons affaire à une forme indéterminée.
Parmi les moyens de lever une telle indétermination figurent les développements
limités : la fonction logarithme possède des développements limités à tous ordres
en 1 donc nous pouvons les introduire pour simplifier l'étude.
Il est également possible de faire un peu plus simple en faisant apparaître des taux
d'accroissements. Cela revient peu ou prou à effectuer un développement limité à
l'ordre 1.
Plus précisément, pour déterminer la limite en a d'une expression de la forme
g(x) − g(a)
h(x) − h(a)
, nous pouvons la réécrire
g(x) − g(a)
h(x) − h(a)
=
g(x) − g(a)
x − a
x − a
h(x) − h(a)
.
Si g et h sont dérivables en a et si h (a) = / 0, alors le premier terme tend vers g (a)
et le second vers 1/ h (a).
204
Chapitre 7 • Intégration
allons donc distinguer les trois cas x < 1, x = 1 et x > 1.
Étude au voisinage de 0 :
Nous allons distinguer les cas x > 1, x = 1 et x < 1 car le comportement
de la fonction t → t x−1 quand t tend vers 0 dépend du signe de l'exposant.
• Si x > 1 : lim
t→0
t
x−1
= 0. Comme lim
t→0
ln(t) = −∞ on a donc
lim
t→0
ϕ(x,t) = 0 . La fonction t → ϕ(x,t) est donc intégrable au voisinage
de 0.
• Si x = 1 : lim
t→0
t
x−1
= 1. Comme lim
t→0
ln(t) = −∞ on a donc
lim
t→0
ϕ(x,t) = 0. La fonction t → ϕ(x,t) est donc intégrable au voisinage
de 0.
Si x < 1, la fonction t → t x−1 diverge vers +∞ en 0. Cependant, on sait que cette
fonction est intégrable au voisinage de 0 si son exposant est strictement supérieur à
−1, ce qui est le cas car il ne faut pas oublier que x a été supposé dans l'énoncé
strictement positif.
• Si x < 1 : on a ici une forme indéterminée car lim
t→0
t
x−1
= +∞.
Cependant, comme ln(t) tend vers +∞ quand t tend vers 0 on a
ϕ(x,t) = o(t x−1 ) quand t tend vers 0. Or x > 0, donc x − 1 > −1 et
t → t x−1 est intégrable au voisinage de 0 d'après le critère de Riemann. On
en déduit que t → ϕ(x,t) est également intégrable au voisinage de 0.
Le problème quand t tend vers 1 est d'une autre nature : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 ; nous avons affaire à une forme indéterminée.
Parmi les moyens de lever une telle indétermination figurent les développements
limités : la fonction logarithme possède des développements limités à tous ordres
en 1 donc nous pouvons les introduire pour simplifier l'étude.
Il est également possible de faire un peu plus simple en faisant apparaître des taux
d'accroissements. Cela revient peu ou prou à effectuer un développement limité à
l'ordre 1.
Plus précisément, pour déterminer la limite en a d'une expression de la forme
g(x) − g(a)
h(x) − h(a)
, nous pouvons la réécrire
g(x) − g(a)
h(x) − h(a)
=
g(x) − g(a)
x − a
x − a
h(x) − h(a)
.
Si g et h sont dérivables en a et si h (a) = / 0, alors le premier terme tend vers g (a)
et le second vers 1/ h (a).
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Chapitre 7 • Intégration