En effectuant le changement de variable t = ux il vient successivement :
f (x) =
+∞
0
ln(t)
x 2 + t 2 dt
=
+∞
0
ln(ux)
x 2 + (ux) 2 x du
=
1
x
+∞
0
ln(u) + ln(x)
1 + u 2
du
=
1
x
f (1) + ln(x)
+∞
0
1
1 + u 2 du
=
ln(x)
x
arctan(u)
+∞
0
=
ln(x)
x
lim
u→+∞
(arctan(u)) − arctan(0)
=
π ln(x)
2 x
.
Exercice 7.4 : Calcul d'une intégrale à paramètre
Pour x ∈ R ∗
+ , on pose f (x) =
1
0
t x−1 − 1
ln(t)
dt .
1. Vérifier que f est bien définie sur R ∗
+ .
2. Montrer que f est de classe C 1 sur R ∗
+ et exprimer f sans intégrale.
3. En déduire une expression de f sans intégrale.
1. Pour montrer que la fonction f est bien définie il suffit de démontrer que, pour
tout réel x > 0 donné, la fonction t ∈]0,1[ →
t x−1 − 1
ln(t)
est intégrable. Autrement
dit, dans cette question, x est considérée comme une constante et on a affaire à un
simple problème d'intégrabilité.
Pour (x,t) ∈ R ∗
+ ×]0,1[ on pose ϕ(x,t) =
t x−1 − 1
ln(t)
.
Fixons x ∈ R ∗
+ . La fonction t ∈]0,1[ → ϕ(x,t) est bien définie et continue.
Ceci ne suffit pas car, pour certaines valeurs de x, cette fonction peut diverger quand
t tend vers 0 ou 1, auquel cas on ne peut pas conclure sans étudier plus précisément
son comportement.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 • Intégration