et donc, en utilisant les questions 1 et 2 que
π
2
0
x
tan(x)
dx =
π
2
ln(2).
Exercice 7.3 : Changement de variable
Pour x ∈ R ∗
+ on pose f (x) =
+∞
0
ln(t)
x 2 + t 2 dt.
1. Calculer f (1) (on pourra utiliser le changement de variable u = 1/t).
2. En déduire la valeur de f (x) pour tout x > 0.
1. Le changement de variable en lui-même ne présente aucune difficulté ; il suffit
d'appliquer correctement la formule. Il faut surtout faire attention à ne rien oublier :
le changement u =
1
t
(i.e. t =
1
u
) doit être effectué dans la fonction intégrée, dans
les bornes de l'intégrale et dans l'élément différentiel.
Ici on a, de manière détaillée :
ln(t)
1 + t 2 =
ln(1/u)
1 + (1/u) 2 =
−ln(u)
1 + (1/u) 2 ,
dt = −
1
u 2 du
et, quand t varie de 0 à +∞, u varie de +∞ à 0 (i.e. les bornes de l'intégrale sont
renversées).
En effectuant le changement de variable u =
1
t
il vient successivement :
f (1) =
+∞
0
ln(t)
1 + t 2 dt
=
0
+∞
ln(1/u)
1 + (1/u) 2 (−1/u
2
) du
=
0
+∞
ln(u)
1 + u 2 du
= − f (1),
donc f (1) = 0.
2. Pour déduire la valeur de f (x) de celle de f (1), nous pouvons envisager un changement de variable. Pour remplacer x par 1 dans x 2 + t 2 il suffit de poser t = ux :
alors x 2 + t 2 = x 2 + (ux) 2 = x 2 (1 + u 2 ) .
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Chapitre 7 • Intégration