L'énoncé nous propose de modifier l'intégrale à l'aide d'un changement de variable.
En effectuant le changement de variable u =
π
2
− x , nous obtenons
π
2
0
x
tan(x)
dx =
π
2
0
π
2 − u
tan
π
2 − u
du =
π
2
0
π
2
− u
tan(u) du.
Comment calculer cette dernière intégrale ? Nous savons intégrer la fonction
u → tan(u) puisque nous en connaissons une primitive : la fonction
u → −ln(cos(u)). Il nous reste donc à éliminer le terme
π
2
− u, ce que nous ferons
en intégrant par parties.
On ne peut pas faire d'intégration par parties directement sur des intégrales généralisées ! Ici, la fonction tan n'est pas définie en
π
2
. Par définition, l'intégrale que
nous voulons calculer est la limite lorsque c tend vers
π
2
des intégrales (classiques)
entre 0 et c. Nous effectuerons l'intégration par parties sur ces intégrales classiques, puis passerons à la limite.
Soit c ∈ [0,
π
2
]. Calculons l'intégrale
π
2
0
π
2
− u
tan(u) du à l'aide d'une
intégration par parties : nous dérivons la fonction u →
π
2
− u en u → −1
et primitivons la fonction u → tan(u) en u → −ln(cos(u)). Nous obtenons
c
0
π
2
− u
tan(u) du =
−
π
2
− u
ln(cos(u))
c
0
−
c
0
ln(cos(u)) du
= −
π
2
− c
ln(cos(c)) −
c
0
ln(cos(u)) du.
Calculons la limite du premier terme du membre de droite lorsque c tend vers
π
2
. Pour cela, posons d =
π
2
− c et calculons la limite quand d tend vers 0.
Nous avons
−
π
2
− c
ln(cos(c)) = −dln
cos
π
2
− d
= −d ln(sin(d)).
Par conséquent, ce terme est équivalent à −d ln(d) et tend donc vers 0
lorsque d tend vers 0. On en déduit que
c
0
π
2
− u
tan(u) du −−→
c→ π
2
−
π
2
0
ln(cos(u)) du
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Chapitre 7 • Intégration