En effectuant le changement de variable y = 2x, nous obtenons
π
2
0
ln(sin(2x)) dx =
1
2
π
0
ln(sin(y)) dy
=
1
2
I +
1
2
π
π
2
ln(sin(y)) dy.
Il nous reste maintenant à comparer l'intégrale
π
π
2
ln(sin(y)) dy à I. Cela peut se
faire à l'aide du changement de variable z = π − y .
En effectuant le changement de variable z = π − y dans la dernière intégrale, nous obtenons
π
π
2
ln(sin(y)) dy =
π
2
0
ln(sin(z)) dz = I.
Maintenant, nous n'avons plus qu'à regrouper les résultats.
On en déduit que
π
2
0
ln(sin(2x)) dx =
1
2
I +
1
2
I = I.
En injectant cette égalité dans la première que nous avons trouvée, nous
trouvons
I =
1
2
I −
π
4
ln(2)
et donc
I = −
π
2
ln(2).
3. Commençons pas nous assurer que l'intégrale est bien définie.
La fonction x →
x
tan(x)
est définie et continue sur ]0,
π
2
]. En outre, au voisinage de 0, nous avons
x
tan(x)
∼
x
x
= 1,
donc la fonction est intégrable au voisinage de 0. Au voisinage de π/2, nous
avons
x
tan(x)
→ 0,
donc la fonction est également intégrable au voisinage de π/2. Par conséquent, l'intégrale est bien définie.
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Chapitre 7 • Intégration