L'énoncé nous demande de comparer une intégrable contenant un sinus à une intégrale contenant un cosinus. On sait que l'on peut passer de l'un à l'autre par une formule de trigonométrie utilisant un changement de variable du type y =
π
2
− x.
Nous allons donc faire ce changement de variable dans l'intégrale.
Effectuons le changement de variable y =
π
2
− x. Nous obtenons
I =
π
2
0
ln(sin(x)) dx =
π
2
0
ln
sin
π
2
− y
dy =
π
2
0
ln(cos(y)) dy.
Lorsque l'on étudie des intégrales faisant intervenir des fonctions trigonométriques, il est souvent intéressant d'effectuer des changements de variable comme
y = −x,π + x,
π
2
− x,. . . En effet, à l'aide des formules trigonométriques, on
trouve alors une nouvelle expression de l'intégrale à calculer et, en la comparant
avec l'expression de départ, on peut parfois en tirer des informations. La suite de
l'exercice présente un exemple de cette stratégie. Dans la suite, n'hésitez pas à
essayer différents changements de variable jusqu'à en trouver un qui soit plus pertinent que les autres et bien adapté au problème !
2. L'énoncé nous demande de calculer une nouvelle intégrale faisant intervenir
sin(2x). En utilisant la formule trigonométrique sin(2x) = 2sin(x)cos(x) , nous
allons faire apparaître l'intégrale I.
Nous avons
π
2
0
ln(sin(2x)) dx =
π
2
0
ln(2sin(x)cos(x)) dx
=
π
2
0
ln(2) dx +
π
2
0
ln(sin(x)) dx +
π
2
0
ln(cos(x)) dx
=
π
2
ln(2) + 2I,
d'après la question qui précède. On en déduit que
I =
1
2
π
2
0
ln(sin(2x)) dx −
π
4
ln(2).
Une autre possibilité pour faire intervenir I (ou une intégrale proche) en partant de
l'intégrale de l'énoncé consiste à effectuer le changement de variable y = 2x.
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Chapitre 7 • Intégration