Ainsi :
+∞
h
e −ax − e −bx
x
dx = G(bh) − G(ah) + ln(b/a).
La fonction G est continue sur R puisque c'est une primitive de g qui est bien définie et continue sur R. En particulier, le passage à la limite h → 0 ne pose pas de
problème et permet de conclure.
En tant que primitive, la fonction G est continue, donc
lim
h→0
G(bh) = lim
h→0
G(ah) = G(0) = 0,
d'où, en faisant tendre h vers 0 :
I = ln(b/a).
Exercice 7.2 : Un calcul d'intégrale II
Soit I =
π
2
0
ln(sin(x)) dx.
1. Montrer que I est bien définie et est égale à
π
2
0
ln(cos(x)) dx.
2. En déduire une expression de I en fonction de
π
2
0
ln(sin(2x)) dx , puis la
valeur de I.
3. En déduire la valeur de
π
2
0
x
tan(x)
dx. On pourra effectuer le changement de
variable u =
π
2
− x .
1. La fonction à intégrer est définie et continue sur ]0,
π
2
]. Le seul problème
concerne l'intégrabilité au voisinage de 0.
La fonction x → ln(sin(x)) est définie et continue sur ]0,
π
2
]. Au voisinage
de 0, nous avons ln(sin(x)) ∼ ln(x) et donc ln(sin(x)) = o(1/
√
x).
Puisque la fonction x → 1/
√
x est intégrable au voisinage de 0, la fonction x → ln(sin(x)) l'est aussi. Ainsi, I est bien définie.
198
Chapitre 7 • Intégration