En effectuant le changement de variable u = ax il vient :
+∞
h
e −ax
x
dx =
+∞
ah
e −u
u/a
du/a =
+∞
ah
e −u
u
du.
De même :
+∞
h
e −bx
x
dx =
+∞
bh
e −u
u
du
d'où, d'après la relation de Chasles :
+∞
h
e −ax − e −bx
x
dx =
bh
ah
e −t
t
dt.
3. Il suffit de montrer que g possède une limite finie en 0. La formule étant une
forme indéterminée quant t tend vers 0, on peut utiliser des développements limités
(à l'ordre 1, puisque le dénominateur abaissera la puissance de 1).
Un développement limité à l'ordre 1 en 0 donne e −t = 1 − t + o(t) d'où
l'on tire lim
t→0
g(t) = −1. La fonction g est donc prolongeable par continuité
en 0.
Nous noterons encore g le prolongement de g obtenu en posant g(0) = −1,
qui est donc continu sur R.
Dans ce cas particulier, on aurait pu remarquer que g(t) =
e −t − e −0
t − 0
et tend
donc vers le nombre dérivée de t → e −t en 0, qui est bien −1. Ce raisonnement
est naturel mais est bien moins général que l'usage des développements limités qui
peuvent être utilisés systématiquement pour des formes indéterminées plus compliquées, notamment quand le dénominateur est de degré > 1.
Il reste à faire le lien avec le calcul précédent en faisant apparaître g(t) dans l'intégrale. À cet effet, nous pouvons également introduire une primitive G de g.
Soit G la primitive de g nulle en 0, ce qui a bien un sens puisque g est
continue en 0.
Faisons apparaître la fonction G :
bh
ah
e −t − 1
t
dt = G(bh) − G(ah).
Par ailleurs,
bh
ah
e −t − 1
t
dt =
bh
ah
e −t
t
dt − ln(b/a).
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Chapitre 7 • Intégration